Quelltext der Seite M11 Aufgabe zu Vektoren

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Buch S. 93 / 1 d, e

{{Lösung versteckt|1=d) <math>\vec {AB} = \vec B-\vec A = \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ -4 \\\ 0  \end{array}\right) - \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -4 \\\ -5  \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 0 \\\ 5  \end{array}\right)</math> <br>
<math>\vec {BA} = \vec A-\vec B = \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -4 \\\ -5  \end{array}\right) - \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ -4 \\\ 0  \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 0 \\\ -5  \end{array}\right)</math> <br>
e) <math>\vec {AB} = \vec B-\vec A = \left ( \begin{array}{c} -4 \\\ -8 \\\ 0  \end{array}\right) - \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 8 \\\ -2  \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} -4 \\\ -16 \\\ 2  \end{array} \right)</math> <br>
<math>\vec {BA} = \vec A-\vec B = \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 3 \\\ -5  \end{array}\right) - \left ( \begin{array}{c} -4 \\\ -8 \\\ 0  \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ 16 \\\ -2  \end{array} \right)</math> 

Es ist <math>\vec {BA} = -\vec {AB}</math>    }}

Buch S. 93 / 2 

{{Lösung versteckt|1=a) <math>\vec {AB} = \vec B-\vec A = \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ 1 \\\ -2  \end{array}\right)</math>, also <math>\vec B -  \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 3 \\\ 6  \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ 1 \\\ -2  \end{array}\right)</math> oder <math>\left ( \begin{array}{c} b_1 \\\ b_2 \\\ b_3  \end{array}\right) -  \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 3 \\\ 6  \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ 1 \\\ -2  \end{array}\right)</math> liefert <math>b_1 = 4, b_2 = 4, b_3=4</math>.

b) <math>\vec {AB} = \vec B-\vec A = \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ 1 \\\ -2  \end{array}\right)</math>, also <math> \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 3 \\\ -5  \end{array}\right) - \vec A = \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ 1 \\\ -2  \end{array}\right)</math> oder <math>\left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 3 \\\ -5  \end{array}\right) -\left ( \begin{array}{c} a_1 \\\ a_2 \\\ a_3  \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ 1 \\\ -2  \end{array}\right)</math> liefert <math>a_1 = -2, b_2 = 2, b_3=-3</math>.

c) <math>\left ( \begin{array}{c} b_1 \\\ 0 \\\ 7  \end{array}\right) -\left ( \begin{array}{c} 2 \\\ a_2 \\\ a_3  \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ 1 \\\ -2  \end{array}\right)</math> liefert <math>b_1 = 6, a_2=-1, a_3=9</math>

d) <math>\left ( \begin{array}{c} -a \\\ a \\\ 3a  \end{array}\right) -\left ( \begin{array}{c} a \\\ -3 \\\ 2a  \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ 1 \\\ -2  \end{array}\right)</math> liefert <br>
x<sub>2</sub>-Koordinate: a + 3 = 1, also a = -2 und <math>\vec A= \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ -3 \\\ -6  \end{array}\right)</math> und <math>\vec B = \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -2 \\\ -6  \end{array}\right)</math>  }}

Buch S. 93 / 3b

{{Lösung versteckt|1=<ggb_applet height="500" width="600"
filename="93-3b.ggb" />

<math>\vec {AB} = \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 1 \\\ 2  \end{array}\right), \vec {DC}=\left ( \begin{array}{c} -2 \\\ -1 \\\ 0  \end{array}\right)</math>  }}

Buch S. 93 / 4

{{Lösung versteckt|1=a) Die Punkte werden im Gegenuhrzeigersinn bezeichnet. Die untere Grundfläche hat die Punkte H, A, M, I, die obere Grundfläche die Punkte L, T, O, N. Also liegt H und L, A unter T, M unter O und I unter N.<br>
T,O,N werden durch L(4;-4;0) zu einem Quadrat ergänzt.<br>
O(0,0,0) und M(0,0,-4) bedeuten, dass die untere Fläche 4 unterhalb der oberen Fläche liegt.<br>
Damit: T(4;0;0) liefert A(4;0;-4), N(0;-4;0) liefert I(0;-4;-4)
Nun ergeben sich noch H(4;-4;-4), A(4;0;-4), M(0,0,-4).
Also insgesamt: H(4;-4;4), A(4;0;-4), M(0;0;-4), I(0;-4;-4) und L((4;-4;0), T(4;0;0), O(0;0;0), N(0;-4;0)<br>
<ggb_applet height="500" width="600"
filename="93-4.ggb" />
Da O der Ursprung ist, ist ein Vektor <math>\vec {OM}</math> mit Startpunkt O der Ortsvektor <math>\vec M</math>.
<math>\vec {OM}=  \vec M = \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ -4  \end{array}\right), \vec {OL} = \vec L = \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ -4 \\\ 0  \end{array}\right), \vec {MH}=\vec H - \vec M = \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ -4 \\\ 0  \end{array}\right), \vec {IA}=}vec A - \vec I = \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ -4 \\\ 0  \end{array}\right)</math><br>
<math>\vec {NT} = \vec T - \vec N = \left ( \begin{array}{c} 4 \\\ 4 \\\ 0 \end{array}\right), \vec {LA} = \vec A - \vec L =\left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 4 \\\ -4  \end{array}\right), \vec {AN} = \vec N - \vec A = \left ( \begin{array}{c} -4 \\\ -4 \\\ 4  \end{array}\right)</math>  

b) Die Pyramide hat ein Quadrat mit Seitenlänge a = 4 als Grundfläche und die Pyramidenhöhe 2, also ist <math>V=\frac{1}{3} \cdot 4^2 \cdot 2=\frac{32}{3}</math><br>
Die Oberfläche hat den Inhalt <math>O=4^2 + 4\cdot \frac{1}{2}\cdot 4 \cdot 2\sqrt 2 = 16+16\sqrt 2=16(1+\sqrt 2) \approx 38,6</math> }}