Quelltext der Seite M11 Funktionsgleichungen der Exponentialfunktion

Hier geht es darum aus einem Sachzusammenhang eine Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion zu erstellen und die Aufgabe damit zu lösen. Es geht um Exponentialfunktionen mit der Funktionsgleichung <math>f(x)=b\cdot a^x</math>. <br>
Man hat zwei Angaben mit denen man zwei Gleichungen erhält und dann a und b berechnet. 

{{Aufgaben-blau|1|2=Buch S. 97 / 14 }}

{{Lösung versteckt|1=Im Jahr 2000 war die Bevölkerung 830 Millionen, 2005, also 5 Jahre später war die Bevölkerung 898 Millionen.<br>
Das führt zu den zwei Gleichungen <br>
1. <math>830\cdot 10^6 = b\cdot a^0</math>, wenn man im Jahr 2000 mit der Zeitrechnung beginnt. Also ist hier <math>b = 830\cdot 10^6</math> und <br>
2. <math> 898\cdot 10^6=830\cdot 10^6 \cdot a^5</math> <br>
Die letzte Gleichung führt zu <math>898 = 830 \cdot a^5</math> und <math>a = \sqrt [5] {\frac{449}{415}}\approx 1,016</math><br>
Der jährliche Wachstumsfaktor ist a = 1,016. Die Bevölkerung nimmt jährlich um 1,6% zu.<br>
Das Wachstumsgesetz lautet <math>f(x)= 830 \cdot 10^6 \cdot 1,016^x</math>.

b) <math>f(25)= 830 \cdot 10^6 \cdot 1,016^{25}=1234\cdot 10^6</math>, <math>f(50)= 830 \cdot 10^6 \cdot 1,016^{50}=1836\cdot 10^6</math> 
}}

{{Aufgaben-blau|2|2=Buch S. 97 / 15 }}

{{Lösung versteckt|1=a) Bei einer exponentiellen Abnahme nimmt die Konzentration anfangs stark ab und am Ende wenig. Daher wirkt es am Anfang stärker und die Wirkung nimmt gegen Ende ab. 

b) Ansatz: <math>c(t)=b\cdot a^{t}</math>. Es ist <math>c(3)=8,4</math> und <math>c(8) = 6,3</math>. Man hat also zwei Gleichungen:<br>
(1) <math>8,4 = b\cdot a^{3}</math>  und<br>
(2) <math>6,3 = b\cdot a^{8}</math> <br>
Dividiert man die Gleichungen (1):(2) erhält man <math>\frac{8,4}{6,3}=a^{^-5}</math> und <math>a = \sqrt [5]{\frac{6,3}{8,4}} =\sqrt [5]{0,75}\approx  0,944</math>. <br>
Die Anfangskonzentration b erhält man, indem man den Wert von a in eine der Gleichungen einsetzt und nach b auflöst.<br>
<math>8,4=b \cdot 0,944^3</math> ergibt <math>b = 9,985</math>. Also war die Anfangskonzentration etwa 10 mg/l.<br>
Die Abnahme pro Stunde ist 0,056 = 5,6%.

c) <math>c(12)=10\cdot 0,994^{12}=5,0</math> und <math>c(24)=10 \cdot 0,994^{24}=2,5</math>

d) Tabletten sollten nach Vorschrift eingenommen werden um eine möglichst hohe Wirksamkeit zu erzielen. 

Bemerkung: Man hätte auch einen Ansatz <math>c(t)=b\cdot a^{-t}</math> in b) machen können, dann wäre a = 1,06. Die Abnahme wird durch das - im Exponenten berücksichtigt. }}

{{Aufgaben-blau|3|2=Buch S. 97 / 16  }}

{{Lösung versteckt|1=Ansatz <math>p(h)=b\cdot a^h</math><br>
a) Man setzt die Werte ein und erhält zwei Gleichungen<br>
(1) <math>915 = b\cdot a^{708}</math> und <br>
(2) <math> 689 = b \cdot a^{2963}</math><br>
Dividiert man (2):(1) erhält man <math>\frac{689}{915}=a^{2255}</math> und <math>a = \sqrt [2255]{\frac{689}{915}}=0,9998742</math><br>
<math>915 = b \cdot 0,9998742^{708}</math> ergibt <math>b=1000</math>.<br>
Die Luftdruckformel ist <math>p(h)=1000\cdot 0,9998742^h</math>.<br>
In Meereshöhe (h = 0) ist der Luftdruck 1000 hPa.<br>
Pro 1 km nimmt der Luftdruck um 11,8% ab.

b) [[Datei:97-16.jpg]]

c) Bei <math>\Delta</math>h = 5510 m halbiert sich jeweils der Luftdruck.

d)  <math>p(4807)=1000\cdot 0,9998742^{4807}=556</math><br>
<math>p(8850)=1000\cdot 0,9998742^{8850}=328</math><br>
<math>p(-400)=1000\cdot 0,9998742^{-400}=1052</math>  }}