Quelltext der Seite M8 - Beispiele weiterer gebrochen-rationaler Funktionen

Du hast schon verschiedene Graphen gebrochen-rationaler Funktionen gesehen. Hier sollen nun weitere Beispiele gezeigt werden um zu sehen, was alles vorkommen kann.

Du hast für die in direkte Proportionalität <math> f: x \rightarrow \frac{1}{x}</math> gesehen, dass bei x = 0 eine Defintionslücke ist und der Graph dort eine senkrechte Asymptote x = 0 hat. <br>
[[Datei:1-x-.jpg|300px]]<br>
Bei Annäherung von x an 0 gehen die y-Werte, wenn x negativ ist nach <math>- \infty</math> und wenn x positiv ist nach <math>\infty</math> und nähern sich der Asympote immer mehr an.


Anders schaut es schon bei dieser Funktion  <math> f: x \rightarrow \frac{1}{x^2}</math> aus. Diese Funktion hat auch bei x = 0 eine Definitionslücke und der Graph eine senkrechte Asymptote x = 0.<br>
[[Datei:1 durch x^2.jpg|400px]]<br>
Bei Annäherung von x an 0 , egal ob mit negativen oder positiven x, gehen die y-Werte  an 0 nach <math>\infty</math> und nähern sich der Asymptote immer mehr an.


Die Funktion Funktion  <math> f: x \rightarrow \frac{1}{x^2-1}</math> hat wegen x<sup>2</sup>-1=(x+1)(x-1) zwei Definitionslücken bei x = -1 und x = 1. Ihr Graph schaut dann so aus.<br>
[[Datei:1dxq.jpg|400px]]<br>
Der Graph hat zwei Asymptoten bei den Definitionslücken x = -1 und x = 1 und nähert sich an diese jeweils unterschiedlich an. Die Funktionswerte gehen je nach Annäherung an die Definitionslücken nach <math>-\infty</math> oder <math>\infty</math>.


{{Merke|1=Hat der Graph einer gebrochen-rationalen Funktion bei einer Definitionslücke x = a eine senkrechte Asymptote x = a, dann heißt die Definitionslücke '''Polstelle'''.}}


Du hast auch schon gesehen (Aufgabe S. 117/11), dass gebrochen-rationale Funktionen keine senkrechten Asymptoten haben.<br>
[[Datei:117-11_2.jpg|700px]]<br>
Hier sind die Graphen achsensymmetrisch zur y-Achse.

{{Aufgaben-blau|1=2|2=
Ordne die Polstellen und die angegebenen Funktionen <math> f: x \rightarrow f(x)</math> richtig zu!
}}<br>
Beachte, dass eine Postelle als Definitionslücke mit Asymptote hauptsächlich eine Nullstelle des Nenners ist.

<div class="zuordnungs-quiz">

{| 
| <math>f(x) = \frac{x-12}{2x}</math> || <math>x = 0 </math>
|-
| <math>f(x) = \frac{2x-6}{5}</math> || keine Polstelle 
|-
| <math>f(x) = \frac{x^2-1}{x^2-2x}</math> || <math>x_1 = 0; x_2 = 2</math> 
|-
| <math>f(x) = \frac{x^2-64}{x^2+2x}</math> ||  <math>x_1 = -2; x_2 = 0</math> 
|-
| <math>f(x) = \frac{x^2+64}{x^2-64}</math> ||  <math>x_1 = -8; x_2 = 8</math>  
|}
</div>




Für <math> |x| \rightarrow  \infty </math> treten waagrechte Asymptoten auf, z.B. die x-Achse oder eine Parallele zu ihr.Es gibt aber auch schräge Asymptoten.<br>
Im folgenden Beispiel stehen in Zähler und Nenner Terme mit x, der Zählerterm ist eine x-Potenz. Man kann den Exponenten der Zählerpotenz ändern und man sieht die Auswirkungen auf den Graphen und die Asymptoten.

{{Aufgaben-blau||2=
Im folgenden Applet betrachten wir die Funktion <math>f:x\rightarrow 0,5\frac{x^n}{(x-1)^3}</math> für  n = 1, 2, 3, 4. In dem Applet kann man mit dem Schieberegler den Exponenten von x im Zählerpolynom ändern. 

Was kannst du über die Asymptoten mit Änderung des Zählerexponenten aussagen?
}}
<center>
<ggb_applet width="736" height="487"  version="4.0" ggbBase64="UEsDBBQACAAIANU+PEEAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiu5QIAUEsHCEXM3l0aAAAAGAAAAFBLAwQUAAgACADVPjxBAAAAAAAAAAAAAAAADAAAAGdlb2dlYnJhLnhtbNVZ2Y7jthJ9nnxFQQGCmWBsiyIl2RN7gux3gMkC9CQI8pCAlmibaYlSJMotN/J4PyWfcd/mx26RlGS5N/SsSYx2kxSLtZxaWOpeftrmGexFVctCrTwy9T0QKilSqbYrr9Gbydz79OkHy60otmJdcdgUVc71ymOGUqYrz+e+8GMqJmIesQnjCzqZpz6d+AuWhNTfsDWLPYC2lk9U8R3PRV3yRJwlO5Hz50XCtRW807p8MptdXFxMe1HTotrOttv1tK1TD1BNVa+8bvIE2Z0cuqCWPPB9Mvv52+eO/USqWnOVCA+MCY18+sGD5YVUaXEBFzLVu5UXM+bBTsjtDm2KSOjBzBCVCEgpEi33osajo6W1WeelZ8m4MvsP3AyywRwPUrmXqagQn2nAWBTQKAwXhC7iOcooKimU7mhJJ3PWc1vupbhwbM3MSkQtdVFka244wp9/QuAHPjw2A3FDgEMUuS3fPfOpGwI3MDeEjoa548yRMkfDHA2jHuxlLdeZWHkbntWIoFSbCr03rGt9yITVp3twtJ48RptqeYnE1McwcZDjc99/bL4RfpnZmJ0aSUZSddW8otBeZEyj+4sM3shQ2ssk8+C6zCC8xczoDqHO7vvYScIRtCjK/tjvNYn0LjOvSnTrNxMYsfdi4nLWp8qyyw6od4a2ix4t8trkC11AuDBhTyDE3IhijPIQyAKHOADMBiAhsBCXZA6RGWOgMW4woDAHQ0co2OQI5/iLxZZZBCEyM09jzEkgKIhBSIHYnGKAmQQ2LzFHA4oUYQghHjLiSWBY0AhYhCs6B4Y6mpSMCRJSPIhrFB8AJUDNYRJDEEFk+BFmUj2aG9WRZQCRDxExDDGrMaNdNiP9HKixJurgkqps9AlESZ72U12Ugy+QGuvRseq5+nRSFB8sM74WGd4TZ8aTAHuemYywgjaF0tA7MXDPthUvdzKpz4TWeKqG3/meP+datF8jdd3LtrRJoeofqkJ/UWRNrmqApMj8QeciI6N5MGiNCzraYOONcLQRjebxjXIL3IGmFii/qOqenKfpM0NxLA2I5PcqO3xeCX5eFvLUjOXMXjlL0SSZTCVXP2GwGikGFxhuIFOu+huIhYtekaJKzw41RjC0v4iqwFK1YNOYLYYP3qqHbmce4yVz3ImQY51wk3tsMV2MP5iXh24r9Kf++NO5SewHB/FWDLZvK5mO58/qz4ssHZCwxn/BS91UtnPAylgZkz5T20zYALG1Fq/l5HxdtGcuMqjj9eJQ4sp38tdbCzpgYQhCvCu33bh2o6Uxig1UvqXxLYXfh5pMh32yCCyFHddutFQYu061zlDSW0n8XoysXY/jnSSNDfyV13rQKKmfuxUmkEzOO1OJO/Bdk6/FMX4MwZfStSSu1zoVQ24Uc3grYpazK2G4PBeVElkX9ejwpmhql8SjhEhFInNcuo0OOG6c+iPq5J6mYluJjp5ntndzsNpdfxzQ1x5bVl9XRf5M7V9gxFxRYDnrtVzWSSVLE5ewxpviXBxjL5U1x4smHZ8zaYpoJOZCQUC0QQsTuNG7orLtGdYdHE12ZiLHZgy0DULV5KKSyQC+sn0eKtV0eg9eM8BDsf4dC+IVh9mFpcHtW8IUeFbuuOkOSReM/CCqE2gst2+LtBfcic1MWwm5dPdkzlvbHPJ1jaVSY1+NrlDHvtop1pUabEpM196aHDCTg0lBO9vIdgQoYiQvMSb4iTHHdNFYxs+xV61tTusue+3kPzJNhRq05Qqjx/oAK1npArYUwsX6cLBE423VGPm9c8s1BxktBqS59/qeCImrKT4bOcO/0xnfbza10Aa/CSMWPrq40VfBzdYbZ9/P/i5fauurzlXWd5coewjB1/GI+EO5I7UrITIvM5lIfQ31tqyQn1G+A3ODb4ataREeto9gBf40hI+h/fWhegQzeNjCBMijXx/SR657OPXaplE2Fb0js9fxHAnpLVl0X8cZBojlJLozyW4Elt0F7D0Ddn3d7L77vWo3VrBUuuAxXUZH/Y1pon4jtwW1BeiVoHlHQev39aULWv/OmKWvFrMYhjfH7O3AJ28H+OBfB/wE8/RvRT59O8jTt4f8sRrQ2GIVv3u3WDec+IW8f7+s8R1Z8GMR7ovJlRZnZMD7aXJGDlm46KU0uNEnHZ/+NaLvW0YhhK8gxleW+rP6kJe60AI2L/9XgcJbi0Bh2iczDYCrS3zvEup1UAv+SajNFw61kL0b1OgbQUX/UVDNHVTxO4KK3Q7VtY7qhWg16bqqj/5oCv3JWbKTAt/lBL4VVXDZ5PDyvwoDVkEqavjoQ+J/8lVbFgo5CtQBWbUgc/jl5V87PPDEMfGu918aJXmnYu9Gf+Si+8B/36uuf+u78W0FbLcbWP/Mo6vwzcavdPaPK93/CZ7+H1BLBwjtuV/UAgcAAMQYAABQSwECFAAUAAgACADVPjxBRczeXRoAAAAYAAAAFgAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc1BLAQIUABQACAAIANU+PEHtuV/UAgcAAMQYAAAMAAAAAAAAAAAAAAAAAF4AAABnZW9nZWJyYS54bWxQSwUGAAAAAAIAAgB+AAAAmgcAAAAA" showResetIcon = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
</center>

{{Lösung versteckt| 1=Die senkrechte Asymptote ist für alle Fälle bei x = 1 und ändert sich nicht.<br>
Ist n = 1 oder n = 2 (die x-Potenz im Zähler ist x oder x<sup>2</sup> ist kleiner als die Zählerpotenz x<sup>3</sup> im Nenner), dann die x-Achse y  = 0 für <math>x \rightarrow \pm \infty</math> waagrechte Asymptote. <br>
Bei n = 3 (man hat hier x<sup>3</sup> als höchste x-Potenz in Zähler und Nenner, also gleiche x-Potenz) ist die waagrechte Asymptote in y-Richtung verschoben und y = 0,5 istfür <math>x \rightarrow \pm \infty</math> waagrechte Asymptote. <br>
Bei n = 4 wird die Asymptote für für <math>x \rightarrow \pm \infty</math>  sogar schräg und die Gerade hat die Gleichung y = 0,5x + 1,5.}}


{{Merke|1=Für für <math>x \rightarrow \pm \infty</math> haben gebrochen-rationale Funktionen Asymptoten, die waagrecht und auch schräg sein können. }}