Quelltext der Seite Asymptoten bei rationalen Funktionen

{{Merke|
Eine Gerade <math> y = mx + t</math> heißt Asymptote für <math>x \rightarrow \infty</math> zum Graph der Funktion <math>f</math>, wenn <math>\lim_{x \to \infty}[f(x)-(mx+t)]=0</math> ist.  
}}

Anschaulich kann man es sich so vorstellen, dass der Graph und die Gerade für <math>x \rightarrow \infty</math> beliebig nahe kommen ohne sich zu schneiden. 

Wir betrachten nun Asymptoten für gebrochen rationale Funktionen <math>f:x \rightarrow \frac{a_n x^n+...+a_0}{b_m x^m + ... + b_0}</math> im maximalen Definitionsbereich. 

{{Aufgabe|1=
Wir betrachten im folgenden Applet die Funktion <math>f:x\rightarrow 0,5\frac{x^n}{(x-1)^3}</math> für  n = 1, 2, 3, 4. In dem Applet kann man mit dem Schieberegler den Exponenten von x im Zählerpolynom ändern. 

Was kannst du über die Asymptoten mit Änderung des Zählerexponenten aussagen?
}}
<center>
<ggb_applet width="736" height="487"  version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
</center>
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{{Merke|1=
Bezeichnet z den Grad den Zählerpolynoms und n den Grad des Nennerpolynoms, dann gilt:<br>
* Ist z < n, dann ist für <math>x \rightarrow \pm \infty</math> die x-Achse <math> y = 0</math> Asymptote.
* Ist z = n und ist <math>a_n </math> der Koeffizient von <math>x^n</math> im Zählerpolynom und <math>b_n</math> der Koeffizient von <math>x^n</math> im Nennerpolynom, dann ist für <math>x \rightarrow \pm \infty</math> die Gerade <math>y = \frac{a_n}{b_n}</math> Asymptote.
* Ist z = n+1,dann kann man mittels [http://www.zum.de/Faecher/M/NRW/pm/mathe/sfs0001.htm Polynomdivision] den Bruch in einen linearen Term <math>mx+t</math> und einen Restbruch umwandeln. Der lineare Term <math>y = mx+t</math> gibt die Asymptote an.
* Ist z > n+1, dann hat der Graph von <math>f</math> eine asymptotische Kurve.
}}

Im folgenden Applet ist eine ähnliche Funktionenschar wie oben dargestellt: <math>f:x\rightarrow 0,5\frac{x^n}{(x-1)^2}</math> für  n = 1, 2, 3, 4. Der Grad des Nennerpolynoms ist diesmal 2. <br>
n lässt sich wieder mit dem Schieberegler variieren.
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</center>
Da das Nennerpolynom Grad 2 hat sieht man für n = 4 die asymptotische Parabel, an die sich der Graph für <math> x \rightarrow \pm \infty</math> annähert. 
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[http://www.chemgapedia.de/vsengine/vlu/vsc/de/ma/1/mc/ma_04/ma_04_02/ma_04_02_02.vlu/Page/vsc/de/ma/1/mc/ma_04/ma_04_02/ma_04_02_19.vscml.html Hier] sind die Überlegungen nochmals zusammengefasst.
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Zusammenfassung mit Beispielen: <br>
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