Quelltext der Seite Aufgaben zur Lagebezeihung zweier Ebenen

 Wenn Sie DreiDGeo heruntergeladen haben, können Sie die Ebenen dort schön darstellen und Ihr Ergebnis überprüfen. 

S. 146/7<br>
Bei dieser Aufgabe ist sind die Ebenen, diesmal E<sub>2</sub> in Normalenform und Ebene E<sub>1</sub> in Parameterform gegeben. Also kann man relativ einfach die "Parameterform in die Normalenform" einsetzen. Man setzt die Koordinaten des Ortsvektors <math>\vec{x}</math> eines Punktes X der Ebene E<sub>1</sub> in die Normalenform der Ebene E<sub>2</sub>.

{{Lösung versteckt|1=Da griechische Buchstaben sich hier nur sehr umständlich schreiben lassen, verwende ich k und m.

a) -4(1+m) + 3(2+k-2m) - (-1+3k+2m) = 3<br>
-4 - 4m +6 +3k -6m + 1 - 3k - 2m = 3<br>
3 - 12m  = 3<br>
m = 0<br>
Nun ersetzt man m in die Parametergleichung der Ebene E<sub>1</sub> durch 0:<br>
<math>\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 2 \\\ -1  \end{array}\right) + k \left( \begin{array}{c} 0 \\\ 1 \\\ 3  \end{array}\right) + 0 \left( \begin{array}{c} 1 \\\ -2 \\\ 2  \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 2 \\\ -1  \end{array}\right) + k \left( \begin{array}{c} 0 \\\ 1 \\\ 3  \end{array}\right)</math> ist die Gleichung der Schnittgeraden.


b) 1+m + 2(-1+3k+2m) = 5<br>
1 + m - 2 + 6k + 4m = 5<br>
5m + 6k = 6<br>
k = 1 - 5/6 m<br>
<math>\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 2 \\\ -1  \end{array}\right) + (1 - \frac{5}{6}m) \left( \begin{array}{c} 0 \\\ 1 \\\ 3  \end{array}\right) + m \left( \begin{array}{c} 1 \\\ -2 \\\ 2  \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 2 \\\ -1  \end{array}\right) + \left( \begin{array}{c} 0 \\\ 1 \\\ 3  \end{array}\right) - \frac{5}{6}m \left( \begin{array}{c} 0 \\\ 1 \\\ 3  \end{array}\right) +  m \left( \begin{array}{c} 1 \\\ -2 \\\ 2  \end{array}\right) </math><br>
<math>= \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 3 \\\ 2  \end{array}\right) +  m \left( \begin{array}{c} 1 \\\ -\frac{17}{6} \\\ -\frac{1}{2}  \end{array}\right) </math><br>


Da der Richtungsvektor durch Multiplikation nur die Länge ändert, nicht aber die Richtung , hier z.B. <math> 6  \left( \begin{array}{c} 1 \\\ -\frac{17}{6} \\\ -\frac{1}{2}  \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 6 \\\ -17 \\\ -3  \end{array}\right)</math>  könnte man hier auch als Richtungsvektor der Schnittgeraden <math> \left( \begin{array}{c} 6 \\\ -17 \\\ -3  \end{array}\right)</math> und die Schnittgerade ist dann <math>\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 3 \\\ 2  \end{array}\right) + m \left( \begin{array}{c} 6 \\\ -17 \\\ -3  \end{array}\right)</math> .<br>
So wird es in DreiDGeo auch angezeigt. 


d) Die Normalform lässt sich umformen in -4x<sub>1</sub> +3x<sub>2</sub> +x<sub>3</sub>  - 6 = 0. 
Vorgehen wie in a) und b) liefert <math>k = \frac{5}{6} + \frac{4}{3} m </math>. Setzt man dies in die Parameterform der Ebene E<sub>1</sub> ein so ergibt sich als Schnittgerade g: <math>\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 1 \\\ \frac{17}{6} \\\ \frac{3}{2}  \end{array}\right) +  m \left( \begin{array}{c} 1 \\\ -\frac{2}{3} \\\ 6  \end{array}\right)</math>


e) die Normalform lässt sich schreiben als 8x<sub>1</sub> + 3x<sub>2</sub> - x<sub>3</sub> =0. <br>
Einsetzen der Koordinaten der Parameterform liefert 4 = 0, was als falsche Aussage liefert, dass die beiden Ebenen E<sub>1</sub> und E<sub>2</sub> echt parallel sind.


g) Einsetzen der Koordinaten der Parametergleichung in die Normalenform  8(1+m) + 3(2+k-2m) - (-1+3k+2m) -15 = 0. Vereinfachen der Gleichung liefert 0 = 0, also eine allgemeingültige Gleichung, was bedeutet, dass die beiden Ebenen E<sub>1</sub> und E<sub>2</sub> identisch sind.
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Aufgabe 146/8

{{Lösung versteckt|1=E<sub>1</sub> ist die x<sub>1</sub>x<sub>2</sub>-Ebene.<br>
E<sub>2</sub> ist die x<sub>2</sub>x<sub>3</sub>-Ebene.<br>
E<sub>3</sub> ist die x<sub>1</sub>x<sub>3</sub>-Ebene.<br>
E<sub>4</sub> ist eine Parallelebene zur x<sub>1</sub>x<sub>3</sub>-Ebene bei x<sub>2</sub>=1.<br>
E<sub>5</sub> ist eine Parallelebene zur x<sub>1</sub>x<sub>2</sub>-Ebene bei x<sub>3</sub>=1.<br>
E<sub>6</sub> ist eine Parallelebene zur x<sub>2</sub>x<sub>3</sub>-Ebene bei x<sub>1</sub>=1.<br>

Die E<sub>1</sub>-Ebene schneidet Ebene E<sub>2</sub>. Die Schnittgerade ist die x<sub>2</sub>-Achse.<br>
Die E<sub>1</sub>-Ebene schneidet Ebene E<sub>3</sub>. Die Schnittgerade ist die x<sub>1</sub>-Achse.<br>
Die E<sub>1</sub>-Ebene schneidet Ebene E<sub>4</sub>. Die Schnittgerade ist eine Parallel zur x<sub>1</sub>-Achse bei x<sub>2</sub>=1.<br>
Die E<sub>1</sub>-Ebene ist echt parallel zur Ebene E<sub>5</sub>.
Die E<sub>1</sub>-Ebene schneidet Ebene E<sub>6</sub>. Die Schnittgerade ist eine Parallel zur x<sub>2</sub>-Achse bei x<sub>1</sub>=1.<br>

....

 Man kann diese Aufgabe auch gut mit DreiDGeo lösen!
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146/9

{{Lösung versteckt|
Die Schnittgerade ist g: <math>\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 4 \\\ -1 \\\ 4  \end{array}\right) +  k \left( \begin{array}{c} 3 \\\ -1 \\\ 2 \end{array}\right)</math> und die Parallele zu ihr durch P(1;-2;1) ist p: <math>\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 1 \\\ -2 \\\ 1  \end{array}\right) +  k \left( \begin{array}{c} 3 \\\ -1 \\\ 2 \end{array}\right)</math>. Die Parallele muss ja einen kollinearen Richtungsvektor haben, also kann man auch gleich den Richtungsvektor von g nehmen. Als Stützvektor nimmt man den Ortsvektor von P.
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146/10 

{{Lösung versteckt|1= Die Ebene E ist in Normalenform x<sub>1</sub> - x<sub>2</sub> + x<sub>3</sub> - 2 = 0 gegeben. <br>
Der Vektor <math>\vec{n} = \left( \begin{array}{c} 1 \\\ -1 \\\ 1  \end{array}\right)</math> ist Normalenvektor der Ebene E. Eine Parallelebene E<sup>*</sup> der Ebene E hat den gleichen Normalenvektor (oder einen zu <math>\vec{n}</math> kollinearen Vektor).<br>
Die Konstante in der Normalenform ergibt sich als Skalarprodukt des Normalenvektor mit dem Stützvektor. Also rechnet man für die Ebene E<sup>*</sup> das Skalarprodukt <math>\vec{n}\circ \vec{d}= \left( \begin{array}{c} 1 \\\ -1 \\\ 1  \end{array}\right)     \circ \left( \begin{array}{c} 10 \\\ -1 \\\ 3  \end{array}\right) = 14</math>. Die Normalenform der Ebenengleichung für E<sup>*</sup> ist <br>
<math> \vec{n}\circ \vec{x} - \vec{n}\circ \vec{d} = 0</math>  oder <math> \vec{n}\circ \vec{x} - 14 = 0</math> oder x<sub>1</sub> - x<sub>2</sub> + x<sub>3</sub> - 14 = 0.<br>
[[Datei:146-10.jpg|Lagebeziehung von Ebenen|400px]]
}}

146/11

{{Lösung versteckt|1= In beiden Fällen ergibt sich als Schnittpunkt S(3;-1;0).<br>
[[Datei:146-11.jpg|Gerade und Ebene|400px]]<br>
Nun doch die Lösung:<br>
a) Der Vektor <math>\vec{n} = \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 2 \\\ 2  \end{array}\right)</math> ist Normalenvektor der Ebene. Als Normalenform der Ebenengleichung erhält man x<sub>1</sub> + 2x<sub>2</sub> + 2x<sub>3</sub> -1 = 0. Setzt man die Koordinaten der Geradengleichung ein, erhält man r = 0 und auch den genannten Punkt S (ist hier der Stützpunkt der Gerade g).<br>
b) Schwieriger wird es bei dieser Aufgabe: Man sucht einen Punkt X, der sowohl auf der Geraden g, also auch in der Ebene E liegt. Man setzt die beiden Vektordarstellungen von Gerade und Ebene gleich, da X sowohl ein Punkt von g als auch von E ist.<br>
<math> \left( \begin{array}{c} 3 \\\ -1 \\\ 0  \end{array}\right)+k \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 2 \\\ 2  \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} -1 \\\ 3 \\\ -2  \end{array}\right) + r \left( \begin{array}{c} 0 \\\ -1 \\\ 1  \end{array}\right) + s \left( \begin{array}{c} 2 \\\ -2 \\\ 1  \end{array}\right)</math><br>
Man hat also ein Gleichungssystem von 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten k, r und s. <br>
(I)   3 + k = -1 + 2s<br>
(II) -1 + 2k = 3 - r - 2s<br>
(III) 2k = -2 + r + s<br>
Zusammenfassen liefert:<br>
(I)    k - 2s = -4<br>
(II)   2k + r + 2s = 4<br>
(III)  2k - r - s = -2<br>
Gleichung (I) liefert k = 2s -4. Also setzt man 2s - 4 für k in die Gleichungen (II) und (III) und erhält<br>
(II) 6s + r = 12<br>
(III)3s - r = 6<br>
Addiert man beide Gleichungen ergibt sich 9s = 18 und s = 2. Dies führt zu r = 0 und ebenso k = 0. Einsetzen in die Geradengleichung oder Ebenengleichung ergibt den angegebenen Schnittpunkt.}}

146/13

{{Lösung versteckt|1=Der Vektor <math>\vec{n} = \left( \begin{array}{c} 1 \\\ -10 \\\ 5  \end{array}\right)</math> ist Normalenvektor der Ebene E. Richtungsvektoren der Ebene müssen senkrecht zum Normalenvektor stehen. Das Skalarprodukt aus Richtungsvektor und Normalenvektor ist dann 0. Man überprüft also die entsprechenden Skalarprodukte.<br>
a)  <math>\vec{n}\circ \vec{d}= \left( \begin{array}{c} 1 \\\ -10 \\\ 5  \end{array}\right) \circ \left( \begin{array}{c} 5 \\\ 2 \\\ 3  \end{array}\right) = 5 - 20 + 15 = 0</math> und <math>\vec{n}\circ \vec{d}= \left( \begin{array}{c} 1 \\\ -10 \\\ 5  \end{array}\right) \circ \left( \begin{array}{c} 0 \\\ 2 \\\ 4  \end{array}\right) =  - 20 + 20 = 0</math>. Also sind die beiden Vektoren mögliche Richtungsvektoren der Ebene E.

b) <math>\vec{n}\circ \vec{d}= \left( \begin{array}{c} 1 \\\ -10 \\\ 5  \end{array}\right) \circ \left( \begin{array}{c} 10 \\\ 2 \\\ 2  \end{array}\right) = 10 - 20 + 10 = 0</math> und <math>\vec{n}\circ \vec{d}= \left( \begin{array}{c} 1 \\\ -10 \\\ 5  \end{array}\right) \circ \left( \begin{array}{c} 0 \\\ 2 \\\ 4  \end{array}\right) =  - 20 + 20 = 0</math>. Also sind die beiden Vektoren mögliche Richtungsvektoren der Ebene E.

c) <math>\vec{n}\circ \vec{d}= \left( \begin{array}{c} 1 \\\ -10 \\\ 5  \end{array}\right) \circ \left( \begin{array}{c} 5 \\\ 2 \\\ 0  \end{array}\right) = 5 - 20  = -15 \neq 0</math>. Dieser Vektor ist nicht geeignet, also auch das Paar nicht. Der zweite Vektor würde gehen, da <math>\vec{n}\circ \vec{d}= \left( \begin{array}{c} 1 \\\ -10 \\\ 5  \end{array}\right) \circ \left( \begin{array}{c} 0 \\\ 1 \\\ 2  \end{array}\right) =  - 10 + 10 = 0</math> ist.  

d) <math>\vec{n}\circ \vec{d}= \left( \begin{array}{c} 1 \\\ -10 \\\ 5  \end{array}\right) \circ \left( \begin{array}{c} 10 \\\ 2 \\\ 2  \end{array}\right) = 10 - 20 + 10 = 0</math> und <math>\vec{n}\circ \vec{d}= \left( \begin{array}{c} 1 \\\ -10 \\\ 5  \end{array}\right) \circ \left( \begin{array}{c} -5 \\\ -1 \\\ -1  \end{array}\right) =  -5 + 10 -5 = 0</math> .<br>
[[Datei:neu.jpg]]Aber die beiden Vektoren sind kollinear, also nicht für Richtungsvektoren der Ebene E geeignet. Es fehlt ein zweiter Vektor für eine andere Richtung.
}}



Was macht man, wenn beide Ebenen in Parameterform dargestellt sind? <br>
Man kann die beiden Gleichungen gleichsetzen und erhält 3 Gleichungen mit 4 Unbekannten. Das will man nicht lösen. Einfacher ist es  eine Ebene in Normalenform umzuwandeln. 

Oder was macht man, wenn beide Ebenen in Normalenform angegeben sind?

S. 146/14

Die Normalenformen der Ebene E<sub>1</sub> ist 3x<sub>1</sub> + x<sub>2</sub> - 2x<sub>3</sub> - 6 = 0 und die Normalenform der Ebene E<sub>2</sub> ist x<sub>1</sub> - x<sub>2</sub> -3 x<sub>3</sub> - 12 = 0. Verwandelt man eine Normalenform in eine Parameterform, dann kann man für die Lagebeziehung wieder das uns bekannte Verfahren anwenden.<br>
In dieser Aufgabe geht es darum die beiden Normalenformen der Ebenengleichungen in Punkt-Richtungsformen (Parameterformen) überzuführen.

{{Lösung versteckt|1= Am Beispiel der Ebene E<sub>2</sub> wird ein Weg dargestellt. <br>
Man setzt x<sub>2</sub> = r und x<sub>3</sub> = 2. Dann hat man folgende Gleichung x<sub>1</sub> - r - 3x - 12 = 0. <br>
Diese Gleichung löst man nach x<sub>1</sub> auf, es ist dann x<sub>1</sub> = 12 + r + 3s. <br>
Jetzt geht es relativ einfach weiter. Jeder Punkt X der Ebene E<sub>2</sub> hat einen Ortsvektor <math>\vec{x} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\\ x_2 \\\ x_3  \end{array}\right)</math>. Setzt man nun für x<sub>1</sub> die den gerade erhaltenen Term 12 + r + 3s ein, für x<sub>2</sub> = r und für x<sub>3</sub> = s, so ist<br>
<math>\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 12+r+3s \\\ r \\\ s  \end{array}\right)</math>. Disen Vektor kann man nun aufspalten in Vektoren ohne r und s und Vektoren, bei denen man r bzw. s aus dem Vektor herausziehen kann (S-Multiplikation!). Es ist dann <br>
<math>\vec{x} = \left( \begin{array}{c} 12+r+3s \\\ r \\\ s  \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 12 \\\ 0 \\\ 0  \end{array}\right) + \left( \begin{array}{c} r \\\ r \\\ 0  \end{array}\right) + \left( \begin{array}{c} 3s \\\ 0 \\\ s  \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 12 \\\ 0 \\\ 0  \end{array}\right) + r \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 1 \\\ 0  \end{array}\right) + s\left( \begin{array}{c} 3 \\\ 0 \\\ 1  \end{array}\right) </math>. Und das ist eine Ebenengleichung in Parameterform mit Stützvektor und zwei Richtungsvektoren. 
}}


[[Datei:neu.jpg]]<br>
Schön ist auch Aufgabe 147/15, da man an den Bildern prima lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit sehen kann.

{{Lösung versteckt|1=3 Vektoren sind hier linear abhängig (komplanat), wenn sie in einer Ebene liegen. Geht ein Vektor aus der Ebene der anderen beiden Vektoren heraus, dann sind sie linear unabhängig.<br>
Also hier:<br>
Die Vektoren sind linear abhängig. --- Die Vektoren sind linear unabhängig. --- Die Vektoren sind linear abhängig.<br>
 Die Vektoren sind linear unabhängig. --- Die Vektoren sind linear unabhängig. --- Die Vektoren sind linear abhängig.<br>
}}

147/16 als themenbezogene Aufgabe 

{{Lösung versteckt|1=a) Die Länge der Dachrinnen ist die Summe der Streckenlängen <br>
<math>[AB]+[BC]+[CA]=\vert\left( \begin{array}{c} -8 \\\ 24 \\\ 0  \end{array}\right)\vert + \vert \left( \begin{array}{c} -8 \\\ -16 \\\ -2  \end{array}\right) \vert + \vert \left( \begin{array}{c} -16 \\\ 8 \\\ -2  \end{array}\right)\vert = \sqrt{640} + \sqrt{324} + \sqrt{324}= 8\sqrt{10} + 36 \approx 61,3.</math> Da in der Aufgabe angegeben ist, dass eine Einheit 1m entspricht, gibt man an, dass die Längen der Dachrinnen 61,3m ist. <br>
Die x<sub>1</sub>x<sub>2</sub>-Ebene hat die Normalenform x<sub>3</sub>=0.<br>
Die durch ABC festgelegte Ebene hat die Gleichung <math>\vec{x} = \vec{A} + r \vec{AB} + s \vec{AC} =
\left( \begin{array}{c} 16 \\\ -13 \\\ 4  \end{array}\right) + r \cdot \left( \begin{array}{c} -8 \\\ 24 \\\ 0  \end{array}\right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 16 \\\ -8 \\\ 2  \end{array}\right)</math><br>
Setzt man die x<sub>3</sub>-Koordinate der Ebenengleichung in die Gleichung x<sub>3</sub>=0, dann erhält man 4 + 2s = 0, also s = -2. Die Gleichung hat also genau eine Lösung. Die führt zur Schnittgeraden h der Horizontalebene mit der Ebene ABC. Dazu setzt man s = -2 in die Ebenengleichung der Ebene ABC ein. <br>
<math>h: \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 16 \\\ -13 \\\ 4  \end{array}\right) + r \cdot \left( \begin{array}{c} -8 \\\ 24 \\\ 0  \end{array}\right) + (-2) \cdot \left( \begin{array}{c} 16 \\\ -8 \\\ 2  \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} -16 \\\ 3 \\\ 0  \end{array}\right) + r \cdot \left( \begin{array}{c} -8 \\\ 24 \\\ 0  \end{array}\right)</math>

b) Die Lampe wird in D aufgehängt, also ist <math>\vec{D}=\left( \begin{array}{c} 6 \\\ -3 \\\ 12  \end{array}\right)</math> Stützvektor und die Richtung der Lampe geht senkrecht nach unten, also ist der Richtungsvektor der Richtungsvektor der x<sub>3</sub>-Achse <math>\left( \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ 1 \end{array}\right)</math> und dies ist durch die Gleichung <math>h: \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 6 \\\ -3 \\\ 12  \end{array}\right) + t \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ 1  \end{array}\right)</math> angegeben. 

c) Die Punkt-Richtungs-Gleichung der Ebene ABC haben wir schon in Aufgabe A berechnet. Nun muss man einen Normalenvektor dieser Ebene bestimmen. Dazu betrachtet man nicht die angegebenen Vektoren <math>\cdot \left( \begin{array}{c} -8 \\\ 24 \\\ 0  \end{array}\right)</math> und <math> \cdot \left( \begin{array}{c} 16 \\\ -8 \\\ 2  \end{array}\right)</math>, sondern <math>\frac{1}{8} \cdot \left( \begin{array}{c} -8 \\\ 24 \\\ 0  \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} -1 \\\ 3 \\\ 0  \end{array}\right)</math> und <math>\frac{1}{2} \cdot \left( \begin{array}{c} 16 \\\ -8 \\\ 2  \end{array}\right)=\left( \begin{array}{c} 8 \\\ -4 \\\ 1  \end{array}\right)</math>. Man kann dann mit kleineren Zahlen rechnen. <br> 
Das Kreuzprodukt diese Vektoren liefert einen Normalenvektor <math>\vec{n} = \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\\ 1 \\\ -20  \end{array}\right)</math> und die angegebene Normalenform 3x<sub>1</sub>+ x<sub>2</sub> - 20x<sub>3</sub> + 45 = 0.

Nun ist der Schnittpunkt der Geraden g aus b) mit der Ebene gesucht. Man setzt die Koordinaten der Geradengleichung wieder in die Normalenform der Ebenengleichung und löst nach t auf.<br>
3·6 + (-3) - 20·t + 45 = 0 liefert t = 3 und L(6;-3;3)<br>
Die Länge des Seils ist dann <math>\vert \vec{DL} \vert = \vert \left( \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ -9  \end{array}\right) \vert = 9</math>. Also hat das Seil eine Länge 9m. 
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