Quelltext der Seite M11 Anwendungen und Aufgaben zum Rechnen mit Vektoren

__NOCACHE__
In den folgenden Bildern sind die Vektoren ohne Vektorpfeil angegeben. Leider macht GeoGebra das nicht. 

{{Merksatz|MERK=Der Verbindungsvektor <math>\vec {AB}</math> der zwei Punkte mit den Ortsvektoren <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> ist <br>
<center> <math>\vec {AB} = \vec b - \vec a</math>.<br></center>
<center>[[Datei:Vektor AB.jpg]]</center>

Um von A nach B zu kommen geht man den Vektor <math>\vec {AB}</math>. Man kann aber auch zuerst in Richtung <math>-\vec a</math> gehen und dann in Richtung <math>\vec b</math>. Also ist <math>\vec {AB} = -\vec a + \vec b = \vec b - \vec a</math>. }}

Die Strecke [AB] hat einen Mittelpunkt M, dessen Ortsvektor ist <math>\vec m</math>.<br>
[[Datei:Mittelpunkt AB.jpg]]<br>

{{Merksatz|MERK=Der Ortsvektor <math>\vec m</math> des Mittelpunkts M der Strecke [AB] ist <br>
<center><math>\vec m = \frac{1}{2}(\vec a + \vec b)</math></center> }}

Wie kommt man vom Ursprung zu M?<br>
Man geht zuerst mit dem Vektor <math> \vec a</math> zum Punkt A und dann die Hälfte der Strecke [AB], dies geht mit dem Vekor <math>\frac{1}{2} \vec {AB} = \frac{1}{2} (\vec b -\vec a)</math>. Also insgesamt <math> \vec m = \vec a + \frac{1}{2} \vec {AB} = \vec a + \frac{1}{2} (\vec b - \vec a)=\vec a + \frac{1}{2} \vec b - \frac {1}{2} \vec a = \frac{1}{2} \vec a + \frac{1}{2} \vec b=\frac{1}{2}(\vec a +\vec b)</math>.

{{Aufgaben-blau|1|2=a) Bestimme den Mittelpunkt der Strecke mit den Endpunkten A(1,2,3) und B(6,5,4).<br>
b) Bestimme den Mittelpunkt der Strecke mit den Endpunkten A(-1,2,3) und B(6,0,-4). }}

{{Lösung versteckt|1=<math>\vec m = \frac{1}{2} \left [ \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 2 \\\ 3  \end{array}\right) +  \left ( \begin{array}{c} 6 \\\ 5 \\\ 4  \end{array}\right) \right ] = \frac{1}{2} \left ( \begin{array}{c} 7 \\\ 7 \\\ 7  \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 3,5 \\\ 3,5 \\\ 3,5  \end{array}\right)</math> , also M(3,5;3,5;3,5)<br>
b) <math>\vec m = \frac{1}{2} \left [ \left ( \begin{array}{c} -1 \\\ 2 \\\ 3  \end{array}\right) +  \left ( \begin{array}{c} 6 \\\ 0 \\\ -4  \end{array}\right) \right ] = \frac{1}{2} \left ( \begin{array}{c} 5 \\\ 2 \\\ -1  \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 2,5 \\\ 1 \\\ -0,5  \end{array}\right)</math> , also M(2,5;1;-0,5)}}


Ein ähnliches Ergebnis erhält man für den Schwerpunkt S eines Dreiecks mit den Eckpunkten A, B, C. 

[[Datei:Schwerpunkt S.jpg]]

{{Merksatz|MERK=Der Schwerpunkt S eines Dreiecks mit den Eckpunkten A, B, C und deren Ortsvektoren <math>\vec a, \vec b, \vec c</math> hat den Ortsvektor <math>\vec s</math>. Es ist <br>
<center><math>\vec s = \frac{1}{3}(\vec a +  \vec b + \vec c)</math>.</center>}}

Wie kommt man vom Urpsung zu S?<br>
Sind Ma, Mb und Mc die Mittelpunkte der Dreiecksseiten a, b, c. <br>
[[Datei:Schwerpunkt S 2.jpg]]<br>
Man geht zurest mit dem Vektor <math>\vec a</math> zum Punkt A, dann von A nach Mb und von Mb nach S, also <br>
<math>\vec s = \vec a+ \vec {AMb} + \vec {MbS}</math><br>
Nun ist <math>\vec{AMb}=\frac{1}{2}\vec {AC}=\frac{1}{2}(\vec c -\vec a)</math> und <math>\vec {MbS}=\frac{1}{3} \vec {MbB} = \frac{1}{3}(\vec b - \vec {Mb})=\frac{1}{3}[\vec b - \frac{1}{2}(\vec c + \vec a)]</math><br>
Damit ist <math>\vec s = \vec a+ \vec {AMb} + \vec {MbS} = \vec a + \frac{1}{2}(\vec c -\vec a) + \frac{1}{3}[\vec b - \frac{1}{2}(\vec c + \vec a)]=\vec a + \frac{1}{2} \vec c - \frac{1}{2} \vec a + \frac{1}{3} \vec b - \frac{1}{6} \vec c - \frac{1}{6}\vec  a = \frac{1}{3} \vec c +  \frac{1}{3} \vec b + \frac{1}{3} \vec b = \frac{1}{3} (\vec a + \vec b + \vec c)</math>

Hinweis: <math>\vec {MbS}=\frac{1}{3} \vec {MbB}</math> [https://mathepedia.de/Seitenhalbierende.html erhält man aus dem Strahlensatz!]

{{Aufgaben-blau|2|2=Bestimmen Sie die Koordinaten des Schwerpunkts S des Dreiecks mit den Eckpunkten A(1;2;3), B(6;5;4) und C(5;2;-1).<br>
Um was für ein besonderes Dreieck handelt es sich?}}

{{Lösung versteckt|1=<math>\vec s = \frac{1}{3} \left [ \left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 2 \\\ 3  \end{array}\right) +  \left ( \begin{array}{c} 6 \\\ 5 \\\ 4  \end{array}\right) + \left ( \begin{array}{c} 5 \\\ 2 \\\ -1  \end{array}\right) \right ] = \frac{1}{3} \left ( \begin{array}{c} 12 \\\ 9 \\\ 6  \end{array}\right)  =\left ( \begin{array}{c} 4 \\\ 3 \\\ 2  \end{array}\right) </math>, also S(4;3;2).  

Die Seitenlängen des Dreiecks sind: <math>\bar {AB} = \sqrt{5^2+3^2+1^2}=\sqrt{35}</math>, <math> \bar {BC}=\sqrt {(-1)^2+(-3)^2+(-5)^2}=\sqrt{35}</math>, <math>\bar {AC}=\sqrt{4^2+0^2+-4^2}=\sqrt{32}</math>, also ist das Dreieck gleichschenklig. 

<ggb_applet height="500" width="800"
filename="Schwerpunkt.ggb" />   }}

{{Aufgaben-blau|3|2=Buch S. 98 / 12  }}

{{Lösung versteckt|1=Es ist <math>\vec m = \frac{1}{2}(\vec a + \vec b)</math>

a) <math>\vec m=\left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -3 \\\ 4  \end{array}\right)</math><br>
b) <math>\vec m=\left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ 0 \end{array}\right)</math><br>
c) <math>\vec m=\left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -3 \\\ 4,3  \end{array}\right)</math><br>
d) <math>\vec m=\left ( \begin{array}{c} 4 \\\ -3 \\\ 1  \end{array}\right)</math><br>
e) <math>\vec m=\left ( \begin{array}{c} -4 \\\ 3 \\\ 0,5  \end{array}\right)</math><br>
f) <math>\vec m=\left ( \begin{array}{c} 1,5 \\\ 0 \\\ 0  \end{array}\right)</math><br>  }}

 Die beiden Formeln zum Mittelpunkt einer Strecke und Schwerpunkt eines Dreiecks stehen in der Merkhilfe!

{{Aufgaben-blau|4|2=Buch S. 98 / 8<br>
Buch S. 98 / 9<br>
Buch S. 99/ 14<br>
Buch S. 98 / 10 }}

{{Lösung versteckt|1=98/8<br>
Im Bild im Buch sind die Vektoren <math>\vec a=\vec {AB}</math> und <math>\vec d=\vec {AD}</math> gegeben. Desweiteren weiß man <math>\vec {DC}=\frac{1}{2} \vec a</math>. Dann sind:<br>
<math>\vec {BC}=-\vec a + \vec d + \frac{1}{2} \vec a=\vec d - \frac{1}{2}\vec a</math>, <br>
<math>\vec {DC} = \frac{1}{2} \vec a</math><br>
<math>\vec {AC} = \vec a + \vec {BC}=\vec a + \vec d - \frac{1}{2} \vec a=\frac{1}{2} \vec a + \vec d</math><br>
<math>\vec {BD}=-\vec a + \vec d</math>

98/9 Es ist C(0;4;0) und D(0;0;0). C und D ergeben sich eindeutig, da die Pyramide gerade ist. Eine Pyramide ist gerade, wenn ihr Höhenfußpunkt gleich dem Mittelpunkt des Umkreises der Grundfläche ist.<br>
[[Datei:98-9.jpg]]<br>
a) <math>\vec {AS}=\vec s - \vec a =\left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 2 \\\ 6  \end{array}\right)</math><br>
<math>\vec {BS}=\vec s - \vec b =\left ( \begin{array}{c} -2 \\\ -2 \\\ 6  \end{array}\right)</math><br>
<math>\vec {CS}=\vec s - \vec c =\left ( \begin{array}{c} 2 \\\ -2 \\\ 6  \end{array}\right)</math><br>
<math>\vec {dS}=\vec s - \vec d =\left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 2 \\\ 6  \end{array}\right)</math><br>
b) Es ist O = 4·A + G, wenn A eine Seitenfläche und G die Grundfläche ist. <br>
<math>O = 4 \cdot \frac{1}{2}\cdot 4 \cdot \sqrt {2^2+6^2} + 4^2=16 \sqrt {10} + 16=16(1+\sqrt{10})</math><br>
Der Winkel SBC im Dreieck SBC ist der gleiche wie im Dreieck SBF, wenn F der Höhenfusspunkt der Höhe von S auf [BC] ist. Das hat den Vorteil, dass das Dreieck SBF bei F rechtwinklig ist. Dann ist <math>\bar {BC} = 2 </math> und <math>\bar {SB}=\sqrt {2^2+\sqrt{40}^2}=2\sqrt {11}</math>. Dann ist im Dreieck SBF der Winkel <math>\varphi</math> durch <math> cos \varphi = \frac{2}{2\sqrt {11}}</math> gegeben und es ist <math>\varphi = 72,45^o</math>.

99/14<br>
Den Bildpunkt P* erhält man durch <math>\vec p ^*=\vec p + \vec v</math>.<br>
a) <math>\left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 4 \\\ 3  \end{array}\right)</math><br>
b) <math>\left ( \begin{array}{c} 1 \\\ 3 \\\ 0  \end{array}\right)</math><br>

98/10<br>
[[Datei:98-10.jpg]]<br>
Da man Vektoren angeben soll kommt es nicht auf den Anfangspunkt an, daher ist <math>\vec u=\frac{1}{4} \vec {AB} , \vec v = \frac{3}{4} \vec {BA}, \vec w=\frac{5}{4}\vec{AB}</math>.
}}

{{Merke|1=Der Teilpunkt T teilt eine Strecke [AB] im '''Teilverhältnis''' <math>\tau</math>. Dabei ist <math>\tau = \frac{\bar{AT}}{\bar{TB}}</math>.<br>
[[Datei:98-10.jpg]]

Dabei ist zu beachten, dass hier die Reihenfolge eine Rolle spielt. Wenn T die Strecke [AB] teilt, dann geht man von A zu T und dann von T zu B. Dann ist <math>\tau = \frac{\bar{AT}}{\bar{TB}}</math>.<br>
Teilt T die Strecke [BA], dann geht man von B zu T und von T zu A, es ist dann <math>\tau = \frac{\bar{BT}}{\bar{TA}}</math>.

Durch die Verwendung von Vektoren hat man den Vorteil, dass das Teilverhältnis auch negativ sein kann. Man definiert:<br>
<center><math>\vec {AT}=\tau \cdot \vec {TB}</math></center> <br>
Da Vektoren auch entgegengesetzt gerichtet sein können ist nun auch ein negatives <math>\tau</math> sinnvoll. <br>
Ist <math>\tau</math> positiv, dann ist T ein innerer Teilpunkt. (T liegt innerhalb der Strecke [AB].)<br>
Ist <math>\tau</math> negativ, dann ist T ein äußerer Teilpunkt. (T liegt außerhalb der Strecke [AB].) 

<ggb_applet height="400" width="1000"
filename="Teilverhältnis.ggb" />   

Mehr dazu auf [https://de.wikipedia.org/wiki/Teilverh%C3%A4ltnis Wikipedia].    }}

{{Aufgaben-blau|5|2=a) Welche Lage hat T für <math>\tau =1</math>?<br> 
b) In welchem Intervall liegt <math>\tau</math>, wenn T zwischen A und dem Mittelpunkt von [AB] liegt?<br>
c) In welchem Intervall liegt <math>\tau</math>, wenn T zwischen dem Mittelpunkt von [AB] und B liegt?<br>
d) In welchem Intervall liegt <math>\tau</math>, wenn T hinter B liegt?<br>
e) In welchem Intervall liegt <math>\tau</math>, wenn T vor A liegt?

Welche Bedeutung hat der grüne Punkt?}}

{{Lösung versteckt|1=a) T ist der Mittelpunkt von [AB].  <br>
b) <math>0< \tau <1</math><br>
c) <math>1< \tau < \infty</math><br>
d) <math>-\infty < \tau <-1</math><br> 
e) <math>-1< \tau < 0</math><br>}}