Quelltext der Seite Mathematik Extremwertaufgaben mit quadratischen Funktionen

<span style="color:#C00000">&nbsp; Extremwertaufgaben konstruktiv gelöst - 
auch reizvoll für den Analysisunterricht im Hinblick auf Definitionsmenge und Randextrema</span>

'''Aufgaben:'''

1. Einem gleichseitigen Dreieck der Seitenlänge 6cm wird ein Rechteck so einbeschrieben, dass eine Rechteckseite x auf einer Dreieckseite liegt und die anderen Eckpunkte des Rechtecks auf den beiden anderen Dreieckseiten liegen.

a) Der Flächeninhalt A des einbeschriebenen Rechtecks hängt von der Seitenlänge x ab.<br>
Gib die Funktion A: x --> A(x) durch ihre Funktionsgleichung an<br>
Bestimme eine sinnvolle Definitionsmenge für die Funktion A.<br>
b) Zeichne in einem Koordinatensystem den Graphen der Funktion A.<br>
c) Für welche Maße x wird der Inhalt des einbeschriebenen Rechtecks am größten? Wie groß ist der maximale Inhalt?

Im folgenden Applet hat der Punkt X die x-Koordinate der linken unteren Ecke des Rechtecks. Darüber trägt man als y-Koordinate den Flächeninhalt des Rechtecks auf. <br>
Bewegt man den Punkt E (linker oberer Eckpunkt des Rechtecks) auf der Seite [AC], dann wird der Graph der Funktion A angezeigt, die jedem x den zugehörigen Flächeninhalt zuordnet.  
<center>
<ggb_applet width="535" height="482"  version="4.2" ggbBase64="UEsDBBQACAAIAGJPL0IAAAAAAAAAAAAAAAAWAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc0srzUsuyczPU0hPT/LP88zLLNHQVKiu5QIAUEsHCEXM3l0aAAAAGAAAAFBLAwQUAAgACABiTy9CAAAAAAAAAAAAAAAADAAAAGdlb2dlYnJhLnhtbO1a627bOBb+3XkKQr86QC3zLqmwO0gzTdtFZ1psuoNi/xSyRMucyJJHkhOnmMfZN9kX20NS8jVO1mmacRcb1KXMyznk9x1+hxQ8+GkxzdGlqmpdFkOP+NhDqkjKVBfZ0Js3417o/fTih0GmykyNqhiNy2oaN0OP+9RbjeM+8UlkR+t06DE8wnIUjnqR5KLHecB7oUyTXsJJSoM4oCqRHkKLWj8vyl/jqapncaLOk4maxu/KJG6s0UnTzJ73+1dXV37n3i+rrJ9lI39Rpx6CqRf10GsfnoO5jUFXzHanGJP+p1/eOfM9XdRNXCTKQ2ZZc/3ihyeDK12k5RW60mkzGXpCEA9NlM4msE5JIg/1TacZLHamkkZfqhqGrn21a26mM892iwvT/sQ9oXy5HA+l+lKnqhp62GdBwCPBJQ0iHpGQARxlpVXRtJ1J67TfmRtcanXl7Jon65J7qCnLfBQbk+jPPxHFFKNnpiCuoFBI6Zqwq8PMFdQV3BXC9eFuOHdduevDXR/OgHBd61Guht44zmuAUBfjCuhbfq+b61zZ+bQVq+WTZ7CmWn9RJjwgThzmUI/xM/OR8OGmob+5SLLmtanmtzp17Ws+O4+Cif/eI/2qdbLOJ8Xhrk8qbvYZfh22nU8i1pAFV/af/eziKm9x6YB8YI/sNmC3Pe6l8gCHkj/2EjmOggdfJBXPaMD3+gzwY8A66HcCNGg1B9UT07fdk42a1kaFWIREZMSEIAGKIwPQDoFIBEVAEWgMIgJxAV9JiKQpA8QCaOCIoRCZfoQhKzkihP94YI1JJMCYqQ1A6RABRxwJhohVKo5An5BVO1A+yqCHEEjAIOOeUGOCScQlfGMh4jBHI3QBgY4MBsJ3cE8RI4iZwSRAVCJp7BFuBFSGZupgkiKJkSTGIGgl6KTTSOgfImZWA7tqVtZ6ie5E5bMOJIujLmbzZgO7ZJp2j005W3Joe6dlcvFyiXXbouK6We8GWWKVjFzW2MhVTwZ5PFI5pPRzEwgIXca5ESrrYVwWDeqCgLq6rIpnE53U56ppYFSNfo8v43dxoxZn0LvufFvXNoUO1DzJdarj4jeIEmPCGETLjGrkt8uoXHDnJSnLKj2/riF00OKfqiphApz6eP0P1PTaNXESbjQx2Nx1Epug55Efrf+BmF63TQJv2msXqC6XS4sXqu7gzyqdrj+/rV+WebqEelbqojmNZ828sscjmFxl1nRSZLmy0NrkAeeM5GJULs4dpszZ+ng9g2/Y+R9lp2VeVqgyuxuwydpy5Erbx0xs2QvbPtj2wB1JOl22k4jaHrYcudL2Atbd1NqFkm6VBHdudG11BIyvR6UNmaG38NC80M079w0iVCcX7VKJG/DrfDqCcGvHbdokN9o8ebr48XCzg/5WkA0uVFWo3IVSAWzOy3ntYnsZn08G81p9iJvJSZH+XWWwKz/ERhkbMO26rmadqkRPYaCrb/GLDbf/gKm62lRllepWmdszqUPXtuL1wN6ptqbOqnL6trj8CIGzNdVBv1vPoE4qPTPhiUYg1RdqFYKprmMQ+nR9HCy+hlUkRnMAyMaA6KF43kzKyh47YeMagUd/+/e/ikJVoJUQlGbT5moKR07U2NC00b3iyB5mDRGoHP0OUrLF4Qo2aL4xTG1Ax/lsEpsDb4tBHl/DBNZRsfbej8e1atBi6PWo2fImClatv5TpNpJAlF0uiMfMmDdBM1PKhZxbDzzMwJ3dqWvxYMmpjSszKePKll/c5ced9A0SZvduCKWr3WIVgtKBeAecLx8VzjsBuw9c8oHhSsrpNC5SVNiDyrnKTL23SpExNlGIYmLQc9DMm64hdtZaGzvg1621Dt74DvjXFrwPf3x/9HdDTrYYrkwtZbqBxHsBd77a5pKmzRr24Y1OU1Us94b6o3BDaiecejrLdaKbJVi5YfNtYbROWXXYVccLpWYmM70vPlZxUZvb/aYs7mfsVFdJrm4mTO4QltxOGGiYTpZ0JLt0dcfzx+DrXmToTBWXMNUSEgta4PZdyjXuNkxXswB4ei4OSFv1haztJtinlV6gk67/SdfrhMJAZiPnhLVWT3hn7ES0TzeGhjkM6rFO7sHoy32Mpocwmv6f0ZsZxbt8yofic7n1tyhNHKXpDqWnruFnKKg9Q8C8bmd5M8ud3ivLmWt65oqRK75eaFkrtMInkSSCckoDLKV5BfGNM/3PR4dB79uAcED+Pt2JtNFh+Xt0JPn7JiivW6S/83R+M4Gn+w5g6jAC1ZEQeDt/PUZ8EsiIcMEkZVGwe4v+bvj8YFVpk83RDo2vDpH3V/eSNkLdCw5bHsNFhviUM4lDCAAaSE6EtEFAfSJYFDEuOcYiEOYi+uAy+b6CW3lWFnH+DkJqi55XbrPFOyyNb2fJROdqJ/21J601rdy+MAY+l0QKSlkgRcgj/m321n7wD4E8OwDy7Fgg375e9gj1I9AxiYOQY8YFYY+N+b4zaOaAVzvAnx2iSGf3Syvf4rRFeOjTEKDmoRSMCZdZZACqwkFqCAsjKjm3vOxLMw8iMfsQH+8L9deHIP76eBDn3AcQI8I4FZHAkZPxXic39qr8SMp9tg/byQEyMjkWGemRMPCxhIgOKAk4CwOxIeRhGPkBiDiNSEQxId/okHR4iE/20fDmkBB/czwhDkIS+hDeQSDg0IplsBniAD31mQRlYQxzOM2KBwz4D2V+DfF+c8J87V4RvHHvCM52AP9Ng9nkgrQq/5m4/pl9gBET+8ABzM/kLm7cNDr0l5bvG3IHEwvHQsus+VnQ1hYjhxC7/w3Czm3pM7lfDN4y1XvH4E3n4jUx6FFfBiAUAlNBMIb0F3xHd6bbeciOiYfucMd8QWgQUhEGnAdEhuw7fPdwO+6TY8K9d8cGIBjuk1AJLSF04lL8z/AwPiYeuvjv7dkAgS+kBAkKIGcCDUR+TzQsZhVMzLzXaIH95CGoHHpPF09f/fgMdVnvR2/zyNK/4yzz6S9+G91UcaK2f2hx56uYXSof4k1Mf/2HEvanS+2vil/8B1BLBwgbZPIa2QgAAAYtAABQSwECFAAUAAgACABiTy9CRczeXRoAAAAYAAAAFgAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAZ2VvZ2VicmFfamF2YXNjcmlwdC5qc1BLAQIUABQACAAIAGJPL0IbZPIa2QgAAAYtAAAMAAAAAAAAAAAAAAAAAF4AAABnZW9nZWJyYS54bWxQSwUGAAAAAAIAAgB+AAAAcQkAAAAA" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /><br><br></center>

2. Einem gleichseitigen Trapez (Grundseiten a =10cm, c = 2cm, Höhe h = 8cm) werden analog wie beim Dreieck Rechtecke einbeschrieben.<br>

a) Der Flächeninhalt A des einbeschriebenen Rechtecks hängt von der Seitenlänge x ab.<br>
Gib die Funktion A: x --> A(x) durch ihre Funktionsgleichung an.<br>
Bestimme eine sinnvolle Definitionsmenge für die Funktion A.<br>
b) Zeichne in einem Koordinatensystem den Graphen der Funktion A.<br>
c) Für welche Maße x wird der Inhalt des einbeschriebenen Rechtecks am größten? Wie groß ist der maximale Inhalt?<br>

Im folgenden Applet hat der Punkt X die x-Koordinate der linken unteren Ecke des Rechtecks. Darüber trägt man als y-Koordinate den Flächeninhalt des Rechtecks auf. (Anmerkung: Hier wurde, damit die Grafik nicht zu hoch wird, nur der 40% des Maßes des Flächeninhalts aufgetragen!)<br>
Bewegt man den Punkt E (linker oberer Eckpunkt des Rechtecks) auf der Seite [AC], dann wird der Graph der Funktion A angezeigt, die jedem x den zugehörigen Flächeninhalt zuordnet.  <br>
<center>
<ggb_applet width="536" height="541"  version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /><br><br></center>

3. Für ein Kleintiergehege wurden 15m Zaun gekauft. Das Gehege soll an ein Haus anschließen, kann aber wegen einer Straße und einem Bach nicht breiter als die Hausseite (5m) sein.<br>
a) Stelle den Inhalt A der Grundfläche in Abhängigkeit von der Breite x des Geheges dar.<br>
b) Zeichne den Graphen von A: x -->A(x) unter Berücksichtigung der Definitionsmenge von A.<br>
c) Für welchen Wert von x wird das Gehege (A) am größten?<br>