Umkehrfunktion Monotonie: Unterschied zwischen den Versionen

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Teste dich! Klicke im folgenden Quiz auf die richtigen Zuordnungen! Betrachte stets den Funktionsgraph im Intervall [1;4].
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Ist eine Funktion <math> f </math> im Intervall <math>[a;b]</math> streng monoton, dann ist sie in dem Intervall umkehrbar.
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{{Aufgabe|Betrachte nun die Quadratfunktion <math> f: x\rightarrow x^2</math> mit <math>D = R</math>.
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1. Wo ist die Quadratfunktion streng monoton abnehmend? Wo ist sie streng monoton zunehmend?
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2. In welchen Intervallen ist die Quadratfunktion umkehrbar?
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3. Gib für beide Intervalle die Umkehrfunktionen an. Zeichne jeweils die Graphen von eingeschränkter Funktion und Umkehrfunktion.
  
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1. Die Quadratfunktion ist im Intervall <math>]-\infty;0]</math> streng monoton abnehmend und im Intervall <math> [0;\infty[</math> streng monoton zunehmend.
  
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2. Der linke Ast für <math>x \in ]-\infty;0]</math> umkehrbar <br>.
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Ist eine Funktion <math> f </math> im Intervall <math>[a;b]</math> streng monoton, dann ist sie in dem Intervall umkehrbar.  
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Der rechte Ast ist für <math>x \in [0;\infty[</math> auch umkehrbar.
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3. a) Für den linken Ast ist die Quadratfunktion <math>f</math> eingeschränkt mit <math>D = R^-_0 </math> und <math> W = R^+_0</math>. <br>
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Die Umkehrfunktion ist <math>f^{-1}:x \rightarrow -sqrt x</math> mit <math>D^{-1} = R^+_0 </math> und <math>W^{-1} = R^-_0</math>.
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3. b) Für den rechten Ast ist die Quadratfunktion <math>f</math> eingeschränkt mit <math>D = R^+_0 </math> und <math> W = R^+_0</math><br>
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Die Umkehrfunktion <math>f^{-1}:x \rightarrow sqrt x</math> mit <math>D^{-1} = R^+_0 </math> und <math>W^{-1} = R^+_0</math>.
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{{Aufgabe|Betrachte nun die Potenzfunktion <math> f: x \rightarrow x^3</math>.
  
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1. Gib Definitions- und Wertemenge an.
  
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{{Aufgabe|Wo ist die Quadratfunktion <math> f: x\rightarrow x^2</math> mit <math>D = R</math> umkehrbar?
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2. Zeichne den Graphen der Funktion <math>f</math>.
  
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Gib jeweils die Umkehrfunktion an.}}
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3. Wo ist die Funktion streng monoton?
  
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{{Lösung versteckt|Die Quadratfunktion ist im Intervall <math>]-\infty;0]</math> streng monoton abnehmend und im Intervall <math> [0;\infty[</math> streng monoton zunehmend.
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4. Bestimme die Umkehrfunktion zu f. Zeichne sie in das Diagramm von 2.
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Somit ist der linke Ast <math>x \in ]-\infty;0]</math> umkehrbar <br>
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{{Lösung versteckt|
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und der rechte Ast <math>x \in [0;\infty[</math> ist ebenso umkehrbar.
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1. <math> D = R</math>, <math>W = R</math>
  
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a) Für den linken Ast ist <math>D = R^-_0 </math> und <math> W = R^+_0</math>. <br>
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2. [[Bild:Umkfkt_kubikfkt.jpg]]
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Umkehrfunktion <math>f^{-1}:x \rightarrow -sqrt x</math> mit <math>D^{-1} = R^+_0 </math> und <math>W^{-1} = R^-_0</math>.
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[[Bild:Umkfkt_quafkt_-.jpg]]
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3. F ist streng monoton zunehmend in ganz <math>R</math>.
  
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b) Für den rechten Ast ist <math>D = R^+_0 </math> und <math> W = R^+_0</math><br>
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4. <math>f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[3]x</math> mit <math> D^{-1} = R</math>, <math>W^{-1} = R</math>
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Umkehrfunktion <math>f^{-1}:x \rightarrow sqrt x</math> mit <math>D^{-1} = R^+_0 </math> und <math>W^{-1} = R^+_0</math>.
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[[Bild:Umkfkt_quafkt_-.jpg]]
 
 
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1. Potenzfunktionen <math>f: x \rightarrow x^n</math> mit ungeraden Exponenten <math>n</math> sind in <math>R</math> umkehrbar.
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Die Umkehrfunktion ist die n-Wurzelfunktion <math>f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]x</math> mit <math> D^{-1} = R</math>, <math>W^{-1} = R</math>.
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2. Potenzfuntkionen <math>f: x \rightarrow x^n</math> mit geraden Exponenten <math>n</math> sind in <math>R</math> nicht umkehrbar. Sie müssen eingeschränkt werden, z.B. auf <math>R^+_0</math>.
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Die Umkehrfunktion ist die n-Wurzelfunktion <math>f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]x</math> mit <math> D^{-1} = R^+_0</math>, <math>W^{-1} = R^+_0</math>.
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Version vom 23. Mai 2012, 19:00 Uhr

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30px   Merke

Eine Funktion f heißt streng monoton zunehmend im Intervall [a;b], wenn für alle x_1,x_2 \in [a;b] gilt: x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)

Eine Funktion f heißt streng monoton abnehmend im Intervall [a;b], wenn für alle x_1,x_2 \in [a;b] gilt: x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)

Dies heißt, dass bei streng monoton zunehmend mit wachsenden x-Werten auch die y-Werte größer werden. Der Graph geht "bergauf".

Streng monoton abnehmend bedeutet, dass mit wachsenden x-Werten die y-Werte kleiner werden. Der Graph geht "bergab".


30px   Aufgabe


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30px   Merke

Ist eine Funktion f im Intervall [a;b] streng monoton, dann ist sie in dem Intervall umkehrbar.


30px   Aufgabe

Betrachte nun die Quadratfunktion f: x\rightarrow x^2 mit D = R.

1. Wo ist die Quadratfunktion streng monoton abnehmend? Wo ist sie streng monoton zunehmend?

2. In welchen Intervallen ist die Quadratfunktion umkehrbar?

3. Gib für beide Intervalle die Umkehrfunktionen an. Zeichne jeweils die Graphen von eingeschränkter Funktion und Umkehrfunktion.


1. Die Quadratfunktion ist im Intervall ]-\infty;0] streng monoton abnehmend und im Intervall [0;\infty[ streng monoton zunehmend.

2. Der linke Ast für x \in ]-\infty;0] umkehrbar
. Der rechte Ast ist für x \in [0;\infty[ auch umkehrbar.

3. a) Für den linken Ast ist die Quadratfunktion f eingeschränkt mit D = R^-_0 und W = R^+_0.
Die Umkehrfunktion ist f^{-1}:x \rightarrow -sqrt x mit D^{-1} = R^+_0 und W^{-1} = R^-_0.

Umkfkt quafkt -.jpg

3. b) Für den rechten Ast ist die Quadratfunktion f eingeschränkt mit D = R^+_0 und W = R^+_0
Die Umkehrfunktion f^{-1}:x \rightarrow sqrt x mit D^{-1} = R^+_0 und W^{-1} = R^+_0.

Umkfkt quafkt +.jpg

30px   Aufgabe

Betrachte nun die Potenzfunktion f: x \rightarrow x^3.

1. Gib Definitions- und Wertemenge an.

2. Zeichne den Graphen der Funktion f.

3. Wo ist die Funktion streng monoton?

4. Bestimme die Umkehrfunktion zu f. Zeichne sie in das Diagramm von 2.

1. D = R, W = R

2. Umkfkt kubikfkt.jpg

3. F ist streng monoton zunehmend in ganz R.

4. f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[3]x mit D^{-1} = R, W^{-1} = R

30px   Merke

1. Potenzfunktionen f: x \rightarrow x^n mit ungeraden Exponenten n sind in R umkehrbar.

Die Umkehrfunktion ist die n-Wurzelfunktion f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]x mit D^{-1} = R, W^{-1} = R.

2. Potenzfuntkionen f: x \rightarrow x^n mit geraden Exponenten n sind in R nicht umkehrbar. Sie müssen eingeschränkt werden, z.B. auf R^+_0.

Die Umkehrfunktion ist die n-Wurzelfunktion f^{-1}: x \rightarrow \sqrt[n]x mit D^{-1} = R^+_0, W^{-1} = R^+_0.

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