Q 12-Mathematik-Kurs Heim: Unterschied zwischen den Versionen

Aus RSG-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
(→‎{{Anwendungen des Bestimmten Integrales - Flächenberechnungen - Weiteres}})
(→‎{{Schrift grün|Anwendungen des Bestimmten Integrales - Flächenberechnungen - Weiteres}})
Zeile 36: Zeile 36:
  
 
={{Schrift grün|Anwendungen des Bestimmten Integrales - Flächenberechnungen - Weiteres}}=
 
={{Schrift grün|Anwendungen des Bestimmten Integrales - Flächenberechnungen - Weiteres}}=
 +
==Pflicht==
 +
==Kür==
 +
{{Kasten_blau|Zitiert aus Wikipedia:[http://de.wikipedia.org/wiki/Rotationsk%C3%B6rper] <br>
 +
[[File:Rotationskoerper animation.gif|miniatur|400px|]]
 +
== Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers ==
 +
=== Rotation um x-Achse ===
 +
Für einen Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche, die durch den Graphen der Funktion f im Intervall [a,b], die x-Achse und die beiden Geraden <math>x=a</math> und <math>x=b</math> begrenzt wird, um die x-Achse entsteht, lautet die Formel zur Volumenberechnung:
 +
 +
:<math>V = \pi \cdot \int_{a}^{b} (f(x))^2 \mathrm{d}x</math>
 +
 +
=== Rotation um y-Achse ===
 +
Bei Rotation (um die y-Achse) der Fläche, die durch den Graphen der Funktion f im Intervall [a,b], die y-Achse und die beiden Geraden <math>y=f(a)</math> und <math>y=f(b)</math> begrenzt wird, muss man <math>y=f(x)</math> umformen zur [[Umkehrfunktion]] <math>x=f^{-1}(y)</math>. Diese existiert, wenn f [[Stetigkeit|stetig]] und streng [[Monotonie (Mathematik)|monoton]] ist. Falls nicht (wie z.B. im Bild rechts oben), lässt sich f vielleicht in Abschnitte zerlegen, in denen f jeweils stetig und streng monoton ist. Die zu diesen Abschnitten gehörenden Volumina müssen dann separat berechnet und addiert werden.
 +
 +
:<math>V = \pi \cdot \int_{\min(f(a),f(b))}^{\max(f(a),f(b))} (f^{-1}(y))^2 \mathrm{d}y</math>
 +
 +
Wenn man hier <math>x = f^{-1}(y)</math> substituiert, erhält man für das Volumen um die y-Achse
 +
 +
:<math>V = \pi \cdot \int_{\min(f(a),f(b))}^{\max(f(a),f(b))} x^2  \mathrm{d}y = \pi \cdot \int_a^b x^2 \cdot \left|f'(x)\right|\mathrm{d}x</math>.
 +
 +
Der Absolutwert von f' und die min/max Funktionen in den Integralgrenzen sichern ein positives Integral.
 +
 +
Bei Rotation (um die y-Achse) der Fläche, die durch den Graphen der Funktion f im Intervall [a,b], die x-Achse und die beiden Geraden <math>x=a</math> und <math>x=b</math> begrenzt wird, gilt die Formel:
 +
 +
:<math>V =  2 \pi \cdot \int_a^b (x \cdot f(x)) \, \mathrm{d}x</math>
 +
}}
 +
 +
{{Aufgabe|1. Zeichne einen Halbkreis mit Mittelpunkt (0;0) und Radius r, der eine Funktion darstellt. Gib einen Funktionsterm für die Funktion an und überprüfe die obige Formel durch entsprechende Integration<br>
 +
}}
  
 
= {{Schrift grün|Informationen }} =
 
= {{Schrift grün|Informationen }} =

Version vom 4. Oktober 2012, 17:22 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Krümmungsverhalten und Wendepunkte

Stammfunktion und Unbestimmtes Integral

Uebintegral12.pdf

Du sollst die Aufgaben zunächst versuchen selbst zu lösen.

Lösung Teil1:Loesung1.pdf

Bestimmtes Integral - Einführung



Quelle: Wikipedia

\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} (Summe der ersten n ], Der kleine Gauß)
\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} (Summe der ersten n )
\sum_{i=1}^n i^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} (Summe der ersten n Kubikzahlen)
\sum_{i=1}^n i^4 = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30} (Summe der ersten n Potenzen mit Exponenten 4)
\sum_{i=1}^n i^5 = \frac {1}{12} n^2 \left(n + 1\right)^2 \left(2n^2 + 2n -1\right) (Summe der ersten n Potenzen mit Exponenten 5)

Allgemein kann die Summe der ersten i natürlichen Zahlen, jeweils zur k-ten Potenz erhoben, mit der Faulhabersche Formel

Die Integralfunktion

Zusammenhang zwischen Stammfunktion und bestimmtem Integral - HDI Hauptsatz der Integral und Differentialrechnung

Anwendungen des Bestimmten Integrales - Flächenberechnungen - Weiteres

Pflicht

Kür

Zitiert aus Wikipedia:[1]

Rotationskoerper animation.gif

Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers

Rotation um x-Achse

Für einen Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche, die durch den Graphen der Funktion f im Intervall [a,b], die x-Achse und die beiden Geraden x=a und x=b begrenzt wird, um die x-Achse entsteht, lautet die Formel zur Volumenberechnung:

V = \pi \cdot \int_{a}^{b} (f(x))^2 \mathrm{d}x

Rotation um y-Achse

Bei Rotation (um die y-Achse) der Fläche, die durch den Graphen der Funktion f im Intervall [a,b], die y-Achse und die beiden Geraden y=f(a) und y=f(b) begrenzt wird, muss man y=f(x) umformen zur Umkehrfunktion x=f^{-1}(y). Diese existiert, wenn f stetig und streng monoton ist. Falls nicht (wie z.B. im Bild rechts oben), lässt sich f vielleicht in Abschnitte zerlegen, in denen f jeweils stetig und streng monoton ist. Die zu diesen Abschnitten gehörenden Volumina müssen dann separat berechnet und addiert werden.

V = \pi \cdot \int_{\min(f(a),f(b))}^{\max(f(a),f(b))} (f^{-1}(y))^2 \mathrm{d}y

Wenn man hier x = f^{-1}(y) substituiert, erhält man für das Volumen um die y-Achse

V = \pi \cdot \int_{\min(f(a),f(b))}^{\max(f(a),f(b))} x^2 \mathrm{d}y = \pi \cdot \int_a^b x^2 \cdot \left|f'(x)\right|\mathrm{d}x.

Der Absolutwert von f' und die min/max Funktionen in den Integralgrenzen sichern ein positives Integral.

Bei Rotation (um die y-Achse) der Fläche, die durch den Graphen der Funktion f im Intervall [a,b], die x-Achse und die beiden Geraden x=a und x=b begrenzt wird, gilt die Formel:

V = 2 \pi \cdot \int_a^b (x \cdot f(x)) \, \mathrm{d}x
30px   Aufgabe

1. Zeichne einen Halbkreis mit Mittelpunkt (0;0) und Radius r, der eine Funktion darstellt. Gib einen Funktionsterm für die Funktion an und überprüfe die obige Formel durch entsprechende Integration

Informationen

Länderübergreifendes Abitur

Musteraufgabe mit Zusatzinformationen

CAS-Abitur - traditionelles Abitur

Matheabi
unterscheidet sich nur in Geringfügigkeiten vom
CAS-Matheabi

CASIO-Class Pad

Die pdf-Datei kann im Adobe-Reader nach Stichworten durchsucht werden. Also nicht vor der Seitenzahl erschrecken°

Von „http://rsg.zum.de/index.php?title=Q_12-Mathematik-Kurs_Heim&oldid=3712“