M11 Skalarprodukt: Unterschied zwischen den Versionen

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Eine Herleitung der letzten Formel finden Sie im Buch auf Seite 109 oben.
 
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'''Beispiele:''' <br>
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1. <math>\vec a \cdot \vec b = \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 3 \\\ -1  \end{array}\right) \cdot \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 2 \\\ 2 \end{array}\right) = 2\cdot 3 + 3\cdot 2 + (-1)\cdot 2=10</math>.  <br>
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2. <math>\vec a \cdot \vec b = \left ( \begin{array}{c} -1 \\\ 2 \\\ 3  \end{array}\right) \cdot \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 2 \\\ -2 \end{array}\right) = -1\cdot 3 + 2\cdot 2 + 3\cdot (-2)=-5</math>.  <br>
  
  
 
{{Merksatz|MERK=Dies führt zur Definition des Winkels. Der Winkel <math>\varphi</math> der Winkel zwischen den Vektoren <math>\vec a</math> und <math>\vec b </math> ist gegeben durch<br>
 
{{Merksatz|MERK=Dies führt zur Definition des Winkels. Der Winkel <math>\varphi</math> der Winkel zwischen den Vektoren <math>\vec a</math> und <math>\vec b </math> ist gegeben durch<br>
 
<center><math>cos \varphi =\frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a||\vec b|} = \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3}{|\vec a||\vec b|}</math>  }}
 
<center><math>cos \varphi =\frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a||\vec b|} = \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3}{|\vec a||\vec b|}</math>  }}
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'''Beispiele:'''<br>
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1. <math>\vec a =\left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 0 \\\ 3  \end{array}\right) </math>, <math>\vec b=\left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 2 \\\ 3  \end{array}\right)</math>. Es ist <math>|\vec a|=\sqrt {13}, |\vec b|=\sqrt {17}, \vec a \cdot \vec b = \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 0 \\\ 3  \end{array}\right) \cdot \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 2 \\\ 3 \end{array}\right) = -2\cdot 2 + 0\cdot 2 + 3\cdot 3=5</math>. <br>
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Damit ist <math>cos \varphi = \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a| \cdot |\vec b|}=\frac{5}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{17}}\approx 0,3363</math>, also <math>\varphi = 70,3^o</math><br>
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2. <math>\vec a =\left ( \begin{array}{c} -2 \\\ -1 \\\ 2  \end{array}\right) </math>, <math>\vec b=\left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 2 \\\ 1  \end{array}\right)</math>. Es ist <math>|\vec a|=3, |\vec b|=\sqrt 5, \vec a \cdot \vec b = \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ -1 \\\ 2  \end{array}\right) \cdot \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 2 \\\ 1 \end{array}\right) = -2\cdot 0 + -1\cdot 2 + 2\cdot 1=0</math>. <br>
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Damit ist <math>cos \varphi = \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a| \cdot |\vec b|}=\frac{0}{3\cdot \sqrt 5}=0</math>, also <math>\varphi = 90^o</math>.

Version vom 20. Januar 2021, 16:14 Uhr

In Physik hat man gelernt, dass Arbeit W das Produkt aus der Kraft F, die in Wegrichtung entlang des Weges s wirkt. Man schreibt dann W = F·s. Was macht man aber, wenn man einen Leiterwagen zieht?
Bollerwagen.JPG
Nach unserer Arbeitsdefinition muss man den Wagen so wie er abgebildet ist nach vorne ziehen. Dazu muss man sich bücken und es ist sehr unbequem. Man wird den Handgriff hochnehmen, aber dann wirkt die Kraft nicht mehr in Wegrichtung sondern ist schräg dazu. Wie macht sich das dann in der Arbeit bemerktbar?
Man löst das, indem man die Kraftkomponente Fs in Wegrichtung betrachtet und damit die Arbeit Arbeit W = Fs·s berechnet.
Wagen F.jpg
Fs ist die senkrechte Projektion von F auf die Fahrtrichtung.

In der Mathematik führt man hierzu das Skalarprodukt ein, dies wird dann in der Physik auch verwendet und man sagt dann, dass die Arbeit W das Skalarprodukt des Kraftvektors \vec F mit dem Wegvektor \vec s ist, also W = \vec F \cdot \vec s oder ohne Vektoren W = F\cdot s \cdot cos(\varphi).

Maehnrot.jpg
Merke:

Für die Vektoren \vec a=\left ( \begin{array}{c} a_1 \\\ a_2 \\\ a_3 \end{array}\right) imd \vec b=\left ( \begin{array}{c} b_1 \\\ b_2 \\\ b_3 \end{array}\right) definiert man das Skalarprodukt \vec a \cdot \vec b = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3.

Das Ergebnis des Skalarprodukts \vec a \cdot \vec b ist eine Zahl (ein Skalar). Es ist \vec a \cdot \vec b = \left ( \begin{array}{c} a_1 \\\ a_2 \\\ a_3 \end{array}\right) \cdot \left ( \begin{array}{c} b_1 \\\ b_2 \\\ b_3 \end{array}\right) = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3.

Es ist weiterhin, wenn \varphi der Winkel zwischen den Vektoren \vec a und \vec b ist
Skalarprodukt 1.jpg \vec a \cdot \vec b =|\vec a||\vec b|cos(\varphi)

Eine Herleitung der letzten Formel finden Sie im Buch auf Seite 109 oben.

Beispiele:
1. \vec a \cdot \vec b = \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 3 \\\ -1 \end{array}\right) \cdot \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 2 \\\ 2 \end{array}\right) = 2\cdot 3 + 3\cdot 2 + (-1)\cdot 2=10.
2. \vec a \cdot \vec b = \left ( \begin{array}{c} -1 \\\ 2 \\\ 3 \end{array}\right) \cdot \left ( \begin{array}{c} 3 \\\ 2 \\\ -2 \end{array}\right) = -1\cdot 3 + 2\cdot 2 + 3\cdot (-2)=-5.


Maehnrot.jpg
Merke:

Dies führt zur Definition des Winkels. Der Winkel \varphi der Winkel zwischen den Vektoren \vec a und \vec b ist gegeben durch

cos \varphi =\frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a||\vec b|} = \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3}{|\vec a||\vec b|}

Beispiele:
1. \vec a =\left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 0 \\\ 3 \end{array}\right) , \vec b=\left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 2 \\\ 3 \end{array}\right). Es ist |\vec a|=\sqrt {13}, |\vec b|=\sqrt {17}, \vec a \cdot \vec b = \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ 0 \\\ 3 \end{array}\right) \cdot \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 2 \\\ 3 \end{array}\right) = -2\cdot 2 + 0\cdot 2 + 3\cdot 3=5.
Damit ist cos \varphi = \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a| \cdot |\vec b|}=\frac{5}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{17}}\approx 0,3363, also \varphi = 70,3^o
2. \vec a =\left ( \begin{array}{c} -2 \\\ -1 \\\ 2 \end{array}\right) , \vec b=\left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 2 \\\ 1 \end{array}\right). Es ist |\vec a|=3, |\vec b|=\sqrt 5, \vec a \cdot \vec b = \left ( \begin{array}{c} -2 \\\ -1 \\\ 2 \end{array}\right) \cdot \left ( \begin{array}{c} 0 \\\ 2 \\\ 1 \end{array}\right) = -2\cdot 0 + -1\cdot 2 + 2\cdot 1=0.

Damit ist cos \varphi = \frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a| \cdot |\vec b|}=\frac{0}{3\cdot \sqrt 5}=0, also \varphi = 90^o.
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