M10 Funktionsgleichungen der Exponentialfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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(2) <math> 689 = b \cdot a^{2963}</math><br> | (2) <math> 689 = b \cdot a^{2963}</math><br> | ||
Dividiert man (2):(1) erhält man <math>\frac{689}{915}=a^{2255}</math> und <math>a = \sqrt [2255]{\frac{689}{915}}=0,9998742</math><br> | Dividiert man (2):(1) erhält man <math>\frac{689}{915}=a^{2255}</math> und <math>a = \sqrt [2255]{\frac{689}{915}}=0,9998742</math><br> | ||
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| + | Man soll allerding die Abnahme pro km angeben. | ||
| + | Dazu macht man die analoge Rechnung mit km.<br> | ||
| + | (1) <math>915 = b\cdot a^{0,708}</math> und <br> | ||
| + | (2) <math> 689 = b \cdot a^{2,963}</math><br> | ||
| + | Dividiert man (2):(1) erhält man <math>\frac{689}{915}=a^{2,255}</math> und <math>a = \sqrt [2,255]{\frac{689}{915}}=0,881789\approx 0,882</math><br> | ||
| + | Die Abnahme pro km ist also 0,118 = 11,8%. | ||
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<math>915 = b \cdot 0,9998742^{708}</math> ergibt <math>b=1000</math>.<br> | <math>915 = b \cdot 0,9998742^{708}</math> ergibt <math>b=1000</math>.<br> | ||
Die Luftdruckformel ist <math>p(h)=1000\cdot 0,9998742^h</math>.<br> | Die Luftdruckformel ist <math>p(h)=1000\cdot 0,9998742^h</math>.<br> | ||
Aktuelle Version vom 21. März 2021, 16:28 Uhr
Hier geht es darum aus einem Sachzusammenhang eine Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion zu erstellen und die Aufgabe damit zu lösen. Es geht um Exponentialfunktionen mit der Funktionsgleichung 
.
Man hat zwei Angaben mit denen man zwei Gleichungen erhält und dann a und b berechnet.
Im Jahr 2000 war die Bevölkerung 830 Millionen, 2005, also 5 Jahre später war die Bevölkerung 898 Millionen.
Das führt zu den zwei Gleichungen
1. 
, wenn man im Jahr 2000 mit der Zeitrechnung beginnt. Also ist hier 
und
2. 
Die letzte Gleichung führt zu 
und ![a = \sqrt [5] {\frac{449}{415}}\approx 1,016](/images/math/a/2/c/a2cc1a79b808b870caeace7c18afaf6f.png)
Der jährliche Wachstumsfaktor ist a = 1,016. Die Bevölkerung nimmt jährlich um 1,6% zu.
Das Wachstumsgesetz lautet 
.
, 
a) Bei einer exponentiellen Abnahme nimmt die Konzentration anfangs stark ab und am Ende wenig. Daher wirkt es am Anfang stärker und die Wirkung nimmt gegen Ende ab.
b) Ansatz: 
. Es ist 
und 
. Man hat also zwei Gleichungen:
(1) 
und
(2) 
Dividiert man die Gleichungen (1):(2) erhält man 
und ![a = \sqrt [5]{\frac{6,3}{8,4}} =\sqrt [5]{0,75}\approx 0,944](/images/math/0/7/1/071b1100c2034322621db0f414417ecb.png)
.
Die Anfangskonzentration b erhält man, indem man den Wert von a in eine der Gleichungen einsetzt und nach b auflöst.
ergibt 
. Also war die Anfangskonzentration etwa 10 mg/l.
Die Abnahme pro Stunde ist 0,056 = 5,6%.
c) 
und 
d) Tabletten sollten nach Vorschrift eingenommen werden um eine möglichst hohe Wirksamkeit zu erzielen.
Bemerkung: Man hätte auch einen Ansatz
in b) machen können, dann wäre a = 1,06. Die Abnahme wird durch das - im Exponenten berücksichtigt.
Ansatz 
a) Man setzt die Werte ein und erhält zwei Gleichungen
(1) 
und
(2) 
Dividiert man (2):(1) erhält man 
und ![a = \sqrt [2255]{\frac{689}{915}}=0,9998742](/images/math/9/8/5/98596db12aa8392d9c07551f9d879ec5.png)
Man soll allerding die Abnahme pro km angeben.
Dazu macht man die analoge Rechnung mit km.
(1) 
und
(2) 
Dividiert man (2):(1) erhält man 
und ![a = \sqrt [2,255]{\frac{689}{915}}=0,881789\approx 0,882](/images/math/3/c/f/3cff4e2ac486055d938d4a9cf0d16ea6.png)
Die Abnahme pro km ist also 0,118 = 11,8%.
ergibt 
.
Die Luftdruckformel ist 
.
In Meereshöhe (h = 0) ist der Luftdruck 1000 hPa.
Pro 1 km nimmt der Luftdruck um 11,8% ab.
b) 
c) Bei 
h = 5510 m halbiert sich jeweils der Luftdruck.
d) 
