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Version vom 22. Januar 2013, 14:13 Uhr

Stochastik - Teil 2: Binomialverteilung und ihre Anwendungen in der beurteilenden Statistik

Merkhilfe: in revidierter Form:[1]


Inhaltsverzeichnis

Wiederholung von Grundbegriffen

  • Experiment
Versuch, bei dem der Ausgang dem Zufall überlassen ist.
  • Ergebnis
Ausgang eines einzelnen Experimentes
  • Ergebnismenge
Die Menge mit allen möglichen Ergebnissen des Experimentes
  • Ereignismenge
Die Menge aller Teilmengen der Ergebnismenge
  • Ereignis
ein Element der Ereignismenge
  • Laplace-Experiment
Ein Experiment, bei dem jedes Ergebnis von \Omega gleichwahrscheinlich ist.
  • Sicheres Ereignis
hat die Wahrscheinlichkeit 100 %
  • unmögliches Ereignis
hat die Wahrscheinlichkeit 0 %
  • Gegenereignis
hat die Wahrscheinlichkeit 1 - p(Ereignis)
30px   Aufgabe

Scheibehmxjkl1!.jpg
Aufg1s.jpg

kommt noch


Wahrscheinlichkeitsverteilung, Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung

Definition

Ist X eine Zufallsvariable, die die Werte (x_i)_{i \in I} mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten (p_i)_{i \in I} annimmt (mit I Indexmenge, so errechnet sich der Erwartungswert \operatorname{E}(X) als:

\mu =\operatorname{E}(X)=\sum_{i\in I} x_i p_i=\sum_{i \in I} x_i P(X=x_i)


Die Varianz berechnet sich zu:

\operatorname{Var}(X) = \sum_{x \in I} (x - \mu)^2 P(X = x).


Die Standardabweichung zu: σ(X) = √Var(X)


30px   Aufgabe

Two red dice 01.svgZwei Würfel werden geworfen und die Augensumme gebildet.

  • Bestimme die Ergebnismenge \Omega
  • Bestimme in einer Tabelle die Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse und zeichne ein Histogramm bzw. ein Strichdiagramm der Wahrscheinlichkeitsverteilung.
  • Bestimme \mu = E(X) sowie die Varianz als auch die Standardabweichung!

Rest kommt noch!
\Omega = \{\ 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}


Verteilung2.jpgVerteilung3.jpg

30px   Aufgabe

Aufg2s.jpg


  • Entnimm die dazu notwendigen Wahrscheinlichkeiten der Aufgabe unter Wiederholung!
  • Zeichne ein Histogramm bzw. ein Strichdiagramm der Wahrscheinlichkeitsverteilung!
  • Berechne die Varianz und die Standardabweichung, zeichne die Bereiche in das Diagramm ein und erkläre die Bedeutung der Begriffe

Rest kommt noch!

Verteilung1.jpg


Definition

Ein Glücksspiel heißt fair, wenn der Erwartungswert gleich Null ist.

Bernoulliexperimente und Binomialverteilungen

geplant: Dezember

30px   Aufgabe

Folge dem hier angegebenen Link und bearbeite die Aufgaben zur Binomialverteilung!

Testen von Hypothesen

Analysis - Teil 2: Integralrechnung und Anwendungen

Ausblick: Normalverteilung

zum Referat von Felix Hörner ein Video von Felix Hörner und drei Geogebra-Animationen







Krümmungsverhalten und Wendepunkte

Stammfunktion und Unbestimmtes Integral

Uebintegral12.pdf

Du sollst die Aufgaben zunächst versuchen selbst zu lösen.
Lösung Teil1:Loesung1.pdf

Bestimmtes Integral - Einführung




Quelle: Wikipedia

\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} (Summe der ersten n ], Der kleine Gauß)
\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} (Summe der ersten n )
\sum_{i=1}^n i^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} (Summe der ersten n Kubikzahlen)
\sum_{i=1}^n i^4 = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30} (Summe der ersten n Potenzen mit Exponenten 4)
\sum_{i=1}^n i^5 = \frac {1}{12} n^2 \left(n + 1\right)^2 \left(2n^2 + 2n -1\right) (Summe der ersten n Potenzen mit Exponenten 5)

Allgemein kann die Summe der ersten i natürlichen Zahlen, jeweils zur k-ten Potenz erhoben, mit der Faulhabersche Formel

Die Integralfunktion


Es ist Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): f(x) = \0.5 x^2-2



F(t) = \int_{a}^{t} f(x) \mathrm{d}x
30px   Aufgabe

Beschreibe wesentliche Eigenschaften der Funktion F(t) für folgende Werte von a:1,2,3,4,-1!
Überprüfe Deine Ergebnisse mit dem obigen Applet!
Wie unterscheiden sich die Graphen verschiener Untergrenzen a? Erkläre die Unterschiede mittels der Eigenschaften des bestimmten Integrals!

Zusammenhang zwischen Stammfunktion und bestimmtem Integral - HDI Hauptsatz der Integral und Differentialrechnung

Anwendungen des Bestimmten Integrales - Flächenberechnungen - Weiteres

Pflicht

Lernpfad.jpg Einführung in die Integralrechnung

Das Riemann-Integral
Überlegungen zur Summenformel
Integral, Fläche, Integralfunktion

Bestimmtes Integral zur Flächenberechnung

Von der Flächen- zur Stammfunktion

Ueben.gifAufgaben zur Integral- und Differentialrechnung


30px   Aufgabe
Delta 12/Seite 59/8-Gewitter
Gewitter

Wolkenladung und Blitze
Elementarladung


Hier entsteht eine weitere anwendungsbezogene Aufgabe: Deal1.jpg

Was ist das?

Deal2.jpg

Freizeitgeographisch: Ein Lehrer auf Urlaubsfahrt in GB.
Naturgeographisch: Eine fossile Dünenlandschaft an einer rezenten Sand-Kies-Kliffküste in Deal bei Dover/GB
Kulturgeographisch:Eine Freizeitanlage, genauer ein englischer Golfplatz

Mathematisch: Ein Problem der Flächenbestimmung
30px   Aufgabe

1. Schätze die Fläche des Golfplatzes durch elementargeometrische Überlegungen ab.
2. Modelliere zwei Funktionen f und g, die westlichen und östlichen Begrenzungen des Golfplatzes darstellen können. Hinweis f und g sollen ganzrationale Funktionen möglichst niedrigen Grades sein. Nutze dazu Google-Maps (unten).Drehe dazu das Bild um 90° gegen die Uhrzeigerrichtung.
3. Bestimme nun mittels Methoden der Analysis die Fläche des Golfplatzes.
4. Warum ist der unter 3 berechnete Wert nur eine Untergrenze der Fläche des Golfplatzes?

Hier kommt die Musterlösung hin!

Kür

Zitiert aus Wikipedia:[2]

Rotationskoerper animation.gif

Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers

Rotation um x-Achse

Für einen Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche, die durch den Graphen der Funktion f im Intervall [a,b], die x-Achse und die beiden Geraden x=a und x=b begrenzt wird, um die x-Achse entsteht, lautet die Formel zur Volumenberechnung:

V = \pi \cdot \int_{a}^{b} (f(x))^2 \mathrm{d}x

Rotation um y-Achse

Bei Rotation (um die y-Achse) der Fläche, die durch den Graphen der Funktion f im Intervall [a,b], die y-Achse und die beiden Geraden y=f(a) und y=f(b) begrenzt wird, muss man y=f(x) umformen zur Umkehrfunktion x=f^{-1}(y). Diese existiert, wenn f stetig und streng monoton ist. Falls nicht (wie z.B. im Bild rechts oben), lässt sich f vielleicht in Abschnitte zerlegen, in denen f jeweils stetig und streng monoton ist. Die zu diesen Abschnitten gehörenden Volumina müssen dann separat berechnet und addiert werden.

V = \pi \cdot \int_{\min(f(a),f(b))}^{\max(f(a),f(b))} (f^{-1}(y))^2 \mathrm{d}y

Wenn man hier x = f^{-1}(y) substituiert, erhält man für das Volumen um die y-Achse

V = \pi \cdot \int_{\min(f(a),f(b))}^{\max(f(a),f(b))} x^2 \mathrm{d}y = \pi \cdot \int_a^b x^2 \cdot \left|f'(x)\right|\mathrm{d}x.

Der Absolutwert von f' und die min/max Funktionen in den Integralgrenzen sichern ein positives Integral.

Bei Rotation (um die y-Achse) der Fläche, die durch den Graphen der Funktion f im Intervall [a,b], die x-Achse und die beiden Geraden x=a und x=b begrenzt wird, gilt die Formel:

V = 2 \pi \cdot \int_a^b (x \cdot f(x)) \, \mathrm{d}x
30px   Aufgabe

1. Zeichne einen Halbkreis mit Mittelpunkt (0;0) und Radius r, der eine Funktion darstellt. Gib einen Funktionsterm für die Funktion an und überprüfe die obige Formel durch entsprechende Integration
2. Überprüfe die Volumenformel der Höhe des Grundkreisradius r und der Höhe h, indem Sie ein Dreieck mit um die y-Achse rotieren lassen.

Viennese horn.jpg

3. Horn1.jpg

  • Geben Sie zwei verschiedene Funktionstypen an mit Funktionsgleichung an, die von der breitesten Stelle an den Radius des Horns darstellen könnten.
  • Der vordere Teil eines Musikinstrumentes genügt im dargestellten Intervall (Maßeinheit Dezimeter)auf dem angegebenen Intervall der angegebenen Funktionsgleichung. Welches Luftvolumen fasst es? Für das Volumen gilt die obige Formel V = \pi \cdot \int_a^b ( [f(x)]^2\, \mathrm{d}x.

Berechnung der Mantelfläche eines Rotationskörpers

Für die Mantelfläche eines Rotationskörpers gilt:

Rotation um die x-Achse

M = 2 \pi \cdot \int_a^b f(x) \sqrt{1+f'(x)^2} \mathrm{d}x

Herleitung:[3]

30px   Aufgabe

Überprüfe die Formel an einem Zylinder bzw. einem Kegel!

Übungsaufgabe

30px   Aufgabe
handelsübliche Weinflasche - 1 Liter

Handelsübliche 1-Liter- Weinflaschen bestehen aus einem zylindrischen Unterteil des Innendurchmessers 8 cm. Der oberste Teil wird durch einen zylindrischen Korken von 2 cm über. Dieser obere nicht zy lindrische Teil geht ist 20 cm hoch.

1. Welche Bedingung muss eine Funktion erfüllen, die die Flasche als Rotationskörper erzeugen soll?
2. Bestimmen Sie eine ganzrationale Funkton möglichst niedrigen Grades, die den Rotationskörper (ohne Zylinder erzeugt.
3. Für das Volumen gilt die obige Formel V = \pi \cdot \int_a^b ( [f(x)]^2\, \mathrm{d}x Berechnen Sie dieses.
4. Wie hoch muss der angesetzte Zylinder sein, damit das Fassungsvermögen genau 1 Liter beträgt und noch 10 cm ^3 Platz für Korken und Luft sind?
5. Die Abbildung zeigt die die insgesamt 32 cm hohe Flasche erzeugende Funktion. Um wieviel Prozent m ehr Wein würde sich in der Flasche befinden? Begründen Sie ohne Rechnung welche Höhe ein Kegel haben müsste, der den Boden bildet und das zusätzliche Volumen ausgleicht.

Visflasche0.jpg

Zum Vergrößern Bild anklicken

6. Die nebenstehende Abbildung zeigt drei Funktionen t(h), die die Zeit eines Füllvorganges der Flasche mit kegelförmigem Boden in Abhängigkeit von der Füllhöhe h bei konstantem Zufluss (<math<20 cm^3/s, 40 cm^3/s und 80^3 ccm/s)</math> kennzeichnet.(Flasche mit kegelförmigem Boden.

  • Erklären Sie den Verlauf der Kurve 2.
  • Ordnen Sie den Parametern a = 20, a = 40, a = 80 die Graphen (1), (2) und (3) richtig und begründen Sie Ihre Aussage.
  • Untersuchen Sie an den Graphen, ob die Füllmenge bis zu einem festen Wert von h indirekt proportional zu dem Parameter a ist und begründen Sie Ihre Aussage.

1.

Bedingungen sind f(0)= 1;f(20)=4 und wegen des horizontalen Überganges zusätzlich

dass die Ableitung an den Stellen 0 und zwanzig 0 ist.

Lösung des Gleichungssystems mit dem Classpad

2.
Für diese 4 Bedingungen muss man mindestens eine ganzrationale Funktion aufstellen.

y =ax^3 + bx^2 + cx +d mit der Ableitung y =3ax^2 + 2bx + c
Also ergibt sich das Gleichungssystem

(1)1 = d
(2)0 = c
(3)4 = 8000 a + 400 b + 20 c + d
(4)0 = 1200 a + 40 b + c
,
welches durch (1) und (2) auf zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten reduziert wird und die Lösungen

(1)a=-3/4000, b = 9/400, c=0 und d = 1 besitzt.

Ergänzung
Visflasche1.JPG

3.

Flasche5.jpg

Berechnung des Volumens von Hand und mit CASIO Classpad
Loesungflasche.jpg

4. Das Volumen der Flasche muss 1010 Kubikzentimeter betragen. Mit dem Ergebnis von Aufgabe 3 ergibt sich der Ansatz:

461 + 4^2*pi*h = 1010 und damit für die Höhe des Zylinders rund 11 cm.
5. Der Zylinder ist 1 cm zu hoch. Um das Volumen durch die kegelförmige Aussparung im Boden auszugleichen muss der Kegel 3 cm hoch sein, da das Zylindervolumen bei gleichem Grundkreisradius und gleicher Höhe dreimal so groß ist das Kegelvolumen.


6.

Im unteren Bereich der Flasche nimmt die Querschnittsfläche der Flasche mit der Höhe zu. Daher wächst die Zeitdauer(Füllhöhe) überproportional. Darüber wächst im zylinderförmigen Teil die weitere Füllzeit bei gleichem Querschnitt direkt proportional. Im Flaschenhals nimmt dagegen wegen der immer kleiner werdenden Querschnittsfläche die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Höhe wieder ab.

Zuordnung: 80 - 1 40 - 3 20 - 2

Bis zu einer bestimmten Höhe h hat die Flasche ein festes Volumen! Daher ist bei doppelter Zuflussmenge die halbe Zeit zum Füllen des Volumens notwendig. Also sind die Größen indirekt proportional.


Für weitere Untersuchungen:

Double Cola.jpg

30px   Aufgabe

Entnehmen Sie ausgehend von der Höhe von 20 cm der abgebildeten Flasche wesentliche Werte für eine mathematische Modellierung der Flasche. Welchen Grad muss eine ganzrationale Funktion besitzen, um die Flasche als Rotationskörper im Intervall von 0 bis 20] zu erzeugen? Bestimmen Sie diese Funktion.
Bestimmen Sie für einen Glasballon, den Sie zuhause besitzen eine erzeugende Funktion und stellen Sie den Glasballon mit dem Ergebnis in einer Präsentation vor.

Glasballon.JPG

Informationen

Länderübergreifendes Abitur

Musteraufgabe mit Zusatzinformationen

CAS-Abitur - traditionelles Abitur

Matheabi
unterscheidet sich nur in Geringfügigkeiten vom
CAS-Matheabi

CASIO-Class Pad

Die pdf-Datei kann im Adobe-Reader nach Stichworten durchsucht werden. Also nicht vor der Seitenzahl erschrecken°

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