M11 Verkettung von Funktionen

Die Funktion $f:x \rightarrow \sqrt {x^2+1}$ ist eine in ganz R definierte Funktion.

Am Graph sieht man, dass im Punkt (0;1) eine waagrechte Tangente y = 1 vorhanden ist.

Doch wie soll man $\sqrt {x^2+1}$ ableitgen?

Dazu müssen wir die Verknüpfung zweier Funktionen um die Verkettung erweitern. Bisher kennen wir als Verknüpfung zweier Funktiongen f und g

• die Summe f + g
  
• die Differenz f - g
  
• die Multiplikation f · g und
  
• die Division $\frac{f}{g}$

Nun kommt noch die Verkettung $f \circ g$ dazu.

Merke: Bei der Verkettung (Hintereinanderausführung) $u \circ v$ der Funktionen $u$ und $v$ wird zuerst die Funktion $v$ ausgeführt und danach die Funktion $u$. Es ist $u \circ v: x \rightarrow u(v(x))$.

Für unser Beispiel $f:x \rightarrow \sqrt {x^2+1}$ betrachten wir die Funktionen $u:x\rightarrow \sqrt x$ und $v:x\rightarrow x^2+1$. Es ist $u(x) = \sqrt x, v(x) = x^2+1$.
Setzt man nun $v(x)$ an die Stelle von $x$ in der Funktion $u$, dann hat man $u \circ v (x) = u(v(x))=\sqrt {x^2+1}$ und $f$ ist die Verkettung $u \circ v$ der Funktionen $u$ und $v$, also $f = u\circ v$.