M10 Der Logarithmus

Die Gleichung $2^x = 4$ ist ganz leicht zu lösen. Man erhält $x = 2$ . Dies geht immer gut, wenn der Wert auf der rechten Seite eine Potenz der Basis ist, also
$2^x = 1024$ hat die Lösung $x = 10$ ,
$5^x = 625$ hat die Lösung $x = 4$ ,
$3^x = 243$ hat die Lösung $x = 5$ .

Doch was macht man, wenn die Gleichung $2^x = 5$ lautet?

Man hatte schon einmal ein ähnliches Problem. Die Gleichung $x^2 = 4$ hat die Lösungen $x_1 = -2$ und $x_2=2$ . Für die Gleichung $x^2 = 5$ hat man dann neue Zahlen eingeführt, die Wurzeln, und die Gleichung hatte die Lösungen $x_1 = -\sqrt 5, x_2 = \sqrt 5$ .

Für die Gleichung $2^x = 5$ muss man, um eine Lösung zu haben, neue Zahlen einführen, die Logarithmen bzw. den Logarithmus.

Merke:

Die Gleichung $a^x = p$ mit a $\in$ R⁺ und p > 0 hat die Lösung $x = log_a (p)$ .

Man spricht für $x = log_a (p)$ : "x ist der Logarithmus von p zur Basis a"

Beispiele: $2^x = 4$ hat die Lösung $x = log_2(4) = 2$
$3^x = 243$ hat die Lösung $x = =log_3(243)=5$
$10^x = 5$ hat die Lösung $x = log_{10}(5)$
$2^x = 19$ hat die Lösung $x = log_2[18)$

30px Aufgabe 1

1. Schreibe den Exponenten als Logarithmus
a) $2^3 = 8$
b) $5^4 = 625$
c) $2^{-3} = \frac{1}{8}$ d) $7^0 = 1$
e) $10^{-2}=0,01$
f) $100^{\frac{1}{2}}=10$

2. Schreibe die Logarithmusgleichung als Exponentialgleichung
a) $log_3(9) = 2$
b) $log_4(16) = 2$
c) $log_4(\frac{1}{16}) = -2$
d) $log_8(0,125) = -1$
e) $log_3(\frac{1}{81})= -4$

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1a) $3 = log_2(8)$
b) $4 = log_5(625)$
c) $-3 = log_2(\frac{1}{8})$
d) $0 = log_7(1)$
e) $-2 = log_{10}(0,1)$
f) $\frac{1}{2}=log_{100}(10)$

2a) $3^2 = 9$
b) $4^2 = 16$
c) $4^{-2}=\frac{1}{16}$
d) $8^{-1}=0,125$

e) $3^{-4}=\frac{1}{81}$

Merke:

Es ist $log_a(a^r) = r$

$log_a(1) = 0$

30px Aufgabe 2

1. Buch S. 101 / 3

2. Buch S. 102 / 4

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Stelle eventuell die passende Exponentialgleichung auf!
Für log₂(32) lautet die Exponentialgleichung $2^x = 32$ , also x = 5

1a) 5; b) 10; c) 5; d) 1; e) 4; f) 0; g) -1; h) -3; i) -2; k) -1; l) -2; m) -3
n) -1; o) -1; p) -3; q) 2; r) 0; s) 2; t) 1; u) -1; v) 2; w) 0; x) -1; y) -2

2a) 0,5; b) 0,5; c) $\frac{1}{3}$ ; d) $\frac{1}{3}$ ; e) $\frac{1}{5}$ ; f) $\frac{2}{3}$ ; g) $\frac{3}{2}$ ; h) 5;

i) $\frac{9}{2}$ ; k) 0,5; l) $\frac{3}{2}$ ; m) $-\frac{3}{2}$ ; o) 2; p) -2; q) 0

Merke:

Rechengesetze des Logarithmus

Logarithmus eines Produkts: $log_a(p\cdot q) = log_a(p) + log_a(q)$

Logarithmus eines Quotienten: $log_a(\frac{p}{q})=log_a(p) - log_a(q)$

Logarithmus einer Potenz: $log_a(p^r) = r\cdot log_a(p)$

Zur Begründung der Rechenregeln:
1. $log_a(p\cdot q) = log_a(p) + log_a(q)$ erhält man durch folgende Überlegung:
$p = b^x$ und $q = b^y$ . Dann ist $p\cdot q = b^x \cdot b^y = b^{x+y}$ , also $x + y = log_b(p\cdot q)$ .
Da $x = log_b (p)$ und $y = log_b(q)$ ist erhält man $log_b(p)+log_b(q)=x+y=log_b(p\cdot q)$ .

2. $log_a(\frac{p}{q}) = log_a(p) - log_a(q)$ erhält man durch folgende Überlegung:
$p = b^x$ und $q = b^y$ . Dann ist $p : q = b^x : b^y = b^{x-y}$ , also $x - y = log_b(p : q)$ .
Da $x = log_b (p)$ und $y = log_b(q)$ ist erhält man $log_b(p)-log_b(q)=x-y=log_b(p: q)=\log_b(\frac{p}{q})$ .