Q 12-Mathematik-Kurs Heim

Stammfunktion und Unbestimmtes Integral

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Du sollst die Aufgaben zunächst versuchen selbst zu lösen.

Lösung Teil1:

Bestimmtes Integral - Einführung

Quelle: Wikipedia

$\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$ (Summe der ersten $n$ ], Der kleine Gauß)

$\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ (Summe der ersten $n$ )

$\sum_{i=1}^n i^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ (Summe der ersten $n$ Kubikzahlen)

$\sum_{i=1}^n i^4 = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}$ (Summe der ersten $n$ Potenzen mit Exponenten 4)

$\sum_{i=1}^n i^5 = \frac {1}{12} n^2 \left(n + 1\right)^2 \left(2n^2 + 2n -1\right)$ (Summe der ersten $n$ Potenzen mit Exponenten 5)

Allgemein kann die Summe der ersten i natürlichen Zahlen, jeweils zur k-ten Potenz erhoben, mit der Faulhabersche Formel

Anwendungen des Bestimmten Integrales - Flächenberechnungen - Weiteres

Kür

Zitiert aus Wikipedia:[1]

Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers

Rotation um x-Achse

Für einen Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche, die durch den Graphen der Funktion f im Intervall [a,b], die x-Achse und die beiden Geraden $x=a$ und $x=b$ begrenzt wird, um die x-Achse entsteht, lautet die Formel zur Volumenberechnung:

$V = \pi \cdot \int_{a}^{b} (f(x))^2 \mathrm{d}x$

Rotation um y-Achse

Bei Rotation (um die y-Achse) der Fläche, die durch den Graphen der Funktion f im Intervall [a,b], die y-Achse und die beiden Geraden $y=f(a)$ und $y=f(b)$ begrenzt wird, muss man $y=f(x)$ umformen zur Umkehrfunktion $x=f^{-1}(y)$. Diese existiert, wenn f stetig und streng monoton ist. Falls nicht (wie z.B. im Bild rechts oben), lässt sich f vielleicht in Abschnitte zerlegen, in denen f jeweils stetig und streng monoton ist. Die zu diesen Abschnitten gehörenden Volumina müssen dann separat berechnet und addiert werden.

$V = \pi \cdot \int_{\min(f(a),f(b))}^{\max(f(a),f(b))} (f^{-1}(y))^2 \mathrm{d}y$

Wenn man hier $x = f^{-1}(y)$ substituiert, erhält man für das Volumen um die y-Achse

$V = \pi \cdot \int_{\min(f(a),f(b))}^{\max(f(a),f(b))} x^2 \mathrm{d}y = \pi \cdot \int_a^b x^2 \cdot \left|f'(x)\right|\mathrm{d}x$.

Der Absolutwert von f' und die min/max Funktionen in den Integralgrenzen sichern ein positives Integral.

Bei Rotation (um die y-Achse) der Fläche, die durch den Graphen der Funktion f im Intervall [a,b], die x-Achse und die beiden Geraden $x=a$ und $x=b$ begrenzt wird, gilt die Formel:

$V = 2 \pi \cdot \int_a^b (x \cdot f(x)) \, \mathrm{d}x$

30px   Aufgabe 1. Zeichne einen Halbkreis mit Mittelpunkt (0;0) und Radius r, der eine Funktion darstellt. Gib einen Funktionsterm für die Funktion an und überprüfe die obige Formel durch entsprechende Integration

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