Q 12-Mathematik-Kurs Heim

Stammfunktion und Unbestimmtes Integral

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Du sollst die Aufgaben zunächst versuchen selbst zu lösen.
Lösung Teil1:

Aufgabe 4:

Da d/dx (ln |f(x)|= f´(x)/f(x)) gilt

. Fällt eine Funktion mit Bruch nicht zerlegbar sein, so prüft man, ob die Voraussetzungen vorliegen oder durch Wahl eines geeigneten Koeffizienten hergestellt werden können. Test:

Aufgabe 5:

Bestimmtes Integral - Einführung

Quelle: Wikipedia

$\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$ (Summe der ersten $n$ ], Der kleine Gauß)

$\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ (Summe der ersten $n$ )

$\sum_{i=1}^n i^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ (Summe der ersten $n$ Kubikzahlen)

$\sum_{i=1}^n i^4 = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}$ (Summe der ersten $n$ Potenzen mit Exponenten 4)

$\sum_{i=1}^n i^5 = \frac {1}{12} n^2 \left(n + 1\right)^2 \left(2n^2 + 2n -1\right)$ (Summe der ersten $n$ Potenzen mit Exponenten 5)

Allgemein kann die Summe der ersten i natürlichen Zahlen, jeweils zur k-ten Potenz erhoben, mit der Faulhabersche Formel

Die Integralfunktion

Es ist

$F(t) = \int_{a}^{t} f(x) \mathrm{d}x$

30px   Aufgabe Beschreibe wesentliche Eigenschaften der Funktion F(t) für folgende Werte von a:1,2,3,4,-1! Überprüfe Deine Ergebnisse mit dem obigen Applet! Wie unterscheiden sich die Graphen verschiener Untergrenzen a? Erkläre die Unterschiede mittels der Eigenschaften des bestimmten Integrals!

Anwendungen des Bestimmten Integrales - Flächenberechnungen - Weiteres

Kür

Zitiert aus Wikipedia:[1]

Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers

Rotation um x-Achse

Für einen Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche, die durch den Graphen der Funktion f im Intervall [a,b], die x-Achse und die beiden Geraden $x=a$ und $x=b$ begrenzt wird, um die x-Achse entsteht, lautet die Formel zur Volumenberechnung:

$V = \pi \cdot \int_{a}^{b} (f(x))^2 \mathrm{d}x$

Rotation um y-Achse

Bei Rotation (um die y-Achse) der Fläche, die durch den Graphen der Funktion f im Intervall [a,b], die y-Achse und die beiden Geraden $y=f(a)$ und $y=f(b)$ begrenzt wird, muss man $y=f(x)$ umformen zur Umkehrfunktion $x=f^{-1}(y)$. Diese existiert, wenn f stetig und streng monoton ist. Falls nicht (wie z.B. im Bild rechts oben), lässt sich f vielleicht in Abschnitte zerlegen, in denen f jeweils stetig und streng monoton ist. Die zu diesen Abschnitten gehörenden Volumina müssen dann separat berechnet und addiert werden.

$V = \pi \cdot \int_{\min(f(a),f(b))}^{\max(f(a),f(b))} (f^{-1}(y))^2 \mathrm{d}y$

Wenn man hier $x = f^{-1}(y)$ substituiert, erhält man für das Volumen um die y-Achse

$V = \pi \cdot \int_{\min(f(a),f(b))}^{\max(f(a),f(b))} x^2 \mathrm{d}y = \pi \cdot \int_a^b x^2 \cdot \left|f'(x)\right|\mathrm{d}x$.

Der Absolutwert von f' und die min/max Funktionen in den Integralgrenzen sichern ein positives Integral.

Bei Rotation (um die y-Achse) der Fläche, die durch den Graphen der Funktion f im Intervall [a,b], die x-Achse und die beiden Geraden $x=a$ und $x=b$ begrenzt wird, gilt die Formel:

$V = 2 \pi \cdot \int_a^b (x \cdot f(x)) \, \mathrm{d}x$

30px   Aufgabe 1. Zeichne einen Halbkreis mit Mittelpunkt (0;0) und Radius r, der eine Funktion darstellt. Gib einen Funktionsterm für die Funktion an und überprüfe die obige Formel durch entsprechende Integration 2. Überprüfe die Volumenformel der Höhe des Grundkreisradius r und der Höhe h, indem Sie ein Dreieck mit um die y-Achse rotieren lassen. 3. Der vordere Teil eines Musikinstrumentes genügt im dargestellten Intervall (Maßeinheit Dezimeter)auf dem angegebenen Intervall der angegebenen Funktionsgleichung. Welches Luftvolumen fasst es?

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Berechnung der Mantelfläche eines Rotationskörpers

Für die Mantelfläche eines Rotationskörpers gilt:

Rotation um die x-Achse

$M = 2 \pi \cdot \int_a^b f(x) \sqrt{1+f'(x)^2} \mathrm{d}x$

Herleitung:[2]

30px   Aufgabe Überprüfe die Formel an einem Zylinder bzw. einem Kegel!

30px   Aufgabe handelsübliche Weinflasche - 1 Liter Handelsübliche 1-Liter- Weinflaschen bestehen aus einem zylindrischen Unterteil des Innendurchmessers 8 cm. Der oberste Teil wird durch einen zylindrischen Korken von 2 cm über. Dieser obere nicht zy lindrische Teil geht ist 20 cm hoch. 1. Welche Bedingung muss eine Funktion erfüllen, die die Flasche als Rotationskörper erzeugen soll? 2. Bestimmen Sie eine ganzrationale Funkton möglichst niedrigen Grades, die den Rotationskörper (ohne Zylinder erzeugt. 3. Für das Volumen gilt die obige Formel $V = \pi \cdot \int_a^b ( [f(x))]^2\, \mathrm{d}x$ Berechnen Sie dieses. 4. Wie hoch muss der angesetzte Zylinder sein, damit das Fassungsvermögen genau 1 Liter beträgt und noch 10 ccm ^3 Platz für Korken und Luft sind? 5. Die Abbildung zeigt die die insgesamt 32 cm hohe Flasche erzeugende Funktion. Um wieviel Prozent m ehr Wein würde sich in der Flasche befinden? Begründen Sie ohne Rechnung welche Höhe ein Kegel haben müsste, der den Boden bildet und das zusätzliche Volumen ausgleicht. 6. Skizzieren Sie die V(t)- Funktion, die einen Füllvorgang der Flasche mit konstantem Zufluss kennzeichnet. Erklären Sie, welche Bedeutung der Punkt E für den Verlauf des Graphen von v(t) besitzt.

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1.

Bedingungen sind $f(0)= 1;f(20)=4$ und wegen des horizontalen Überganges zusätzlich

dass die Ableitung an den Stellen 0 und zwanzig 0 ist.

2.
Für diese 4 Bedingungen muss man mindestens eine ganzrationale Funktion aufstellen.

$y =ax^3 + bx^2 + cx +d$ mit der Ableitung $y =3ax^2 + 2bx + c$
Also ergibt sich das Gleichungssystem

(1)$1 = d$
(2)$0 = c$
(3)$4 = 8000 a + 400 b + 20 c + d$
(4)$0 = 1200 a + 40 b + c$
,
welches durch (1) und (2) auf zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten reduziert wird und die Lösungen

(1)$a=-3/4000, b = 9/400, c=0$ und $d = 1$besitzt.

Ergänzung

Für weitere Untersuchungen:

30px   Aufgabe Entnehmen Sie ausgehend von der Höhe von 20 cm der abgebildeten Flasche wesentliche Werte für eine mathematische Modellierung der Flasche. Welchen Grad muss eine ganzrationale Funktion besitzen, um die Flasche als Rotationskörper im Intervall von 0 bis 20] zu erzeugen? Bestimmen Sie diese Funktion. Bestimmen Sie für einen Glasballon, den Sie zuhause besitzen eine erzeugende Funktion und stellen Sie den Glasballon mit dem Ergebnis in einer Präsentation vor.

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