Q 12-Mathematik-Kurs Heim

Stochastik - Teil 2: Binomialverteilung und ihre Anwendungen in der beurteilenden Statistik

Merkhilfe: in revidierter Form:[1]

Wiederholung von Grundbegriffen

• Experiment
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Versuch, bei dem der Ausgang dem Zufall überlassen ist.

• Ergebnis
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Ausgang eines einzelnen Experimentes

• Ergebnismenge
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Die Menge mit allen möglichen Ergebnissen des Experimentes

• Ereignismenge
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Die Menge aller Teilmengen der Ergebnismenge

• Ereignis
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ein Element der Ereignismenge

• Laplace-Experiment [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Ein Experiment, bei dem jedes Ergebnis von $\Omega$ gleichwahrscheinlich ist.

• Sicheres Ereignis
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hat die Wahrscheinlichkeit 100 %

• unmögliches Ereignis
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hat die Wahrscheinlichkeit 0 %

• Gegenereignis
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hat die Wahrscheinlichkeit 1 - $p(Ereignis)$

30px   Aufgabe

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kommt noch

Wahrscheinlichkeitsverteilung, Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung

Definition

---

Ist $X$ eine Zufallsvariable, die die Werte $(x_i)_{i \in I}$ mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten $(p_i)_{i \in I}$ annimmt (mit $I$ Indexmenge, so errechnet sich der Erwartungswert $\operatorname{E}(X)$ als:

$\mu =\operatorname{E}(X)=\sum_{i\in I} x_i p_i=\sum_{i \in I} x_i P(X=x_i)$

Die Varianz berechnet sich zu:

$\operatorname{Var}(X) = \sum_{x \in I} (x - \mu)^2 P(X = x).$

Die Standardabweichung zu: $σ(X) = √Var(X)$

30px   Aufgabe Zwei Würfel werden geworfen und die Augensumme gebildet. Bestimme die Ergebnismenge $\Omega$ Bestimme in einer Tabelle die Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse und zeichne ein Histogramm bzw. ein Strichdiagramm der Wahrscheinlichkeitsverteilung. Bestimme $\mu = E(X)$ sowie die Varianz als auch die Standardabweichung!

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Rest kommt noch!
$\Omega = \{\ 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}$

30px   Aufgabe Entnimm die dazu notwendigen Wahrscheinlichkeiten der Aufgabe unter Wiederholung! Zeichne ein Histogramm bzw. ein Strichdiagramm der Wahrscheinlichkeitsverteilung! Berechne die Varianz und die Standardabweichung, zeichne die Bereiche in das Diagramm ein und erkläre die Bedeutung der Begriffe

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Rest kommt noch!

Definition

---

Ein Glücksspiel heißt fair, wenn der Erwartungswert gleich Null ist.

Bernoulliexperimente und Binomialverteilungen

geplant: Dezember

30px   Aufgabe Folge dem hier angegebenen Link und bearbeite die Aufgaben zur Binomialverteilung!

Testen von Hypothesen

Analysis - Teil 2: Integralrechnung und Anwendungen

Ausblick: Normalverteilung

zum Referat von Felix Hörner ein Video von Felix Hörner und drei Geogebra-Animationen

Stammfunktion und Unbestimmtes Integral

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Du sollst die Aufgaben zunächst versuchen selbst zu lösen.
Lösung Teil1:

Bestimmtes Integral - Einführung

Quelle: Wikipedia

$\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$ (Summe der ersten $n$ ], Der kleine Gauß)

$\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ (Summe der ersten $n$ )

$\sum_{i=1}^n i^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ (Summe der ersten $n$ Kubikzahlen)

$\sum_{i=1}^n i^4 = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}$ (Summe der ersten $n$ Potenzen mit Exponenten 4)

$\sum_{i=1}^n i^5 = \frac {1}{12} n^2 \left(n + 1\right)^2 \left(2n^2 + 2n -1\right)$ (Summe der ersten $n$ Potenzen mit Exponenten 5)

Allgemein kann die Summe der ersten i natürlichen Zahlen, jeweils zur k-ten Potenz erhoben, mit der Faulhabersche Formel

Die Integralfunktion

Es ist

$F(t) = \int_{a}^{t} f(x) \mathrm{d}x$

30px   Aufgabe Beschreibe wesentliche Eigenschaften der Funktion F(t) für folgende Werte von a:1,2,3,4,-1! Überprüfe Deine Ergebnisse mit dem obigen Applet! Wie unterscheiden sich die Graphen verschiener Untergrenzen a? Erkläre die Unterschiede mittels der Eigenschaften des bestimmten Integrals!

Anwendungen des Bestimmten Integrales - Flächenberechnungen - Weiteres

Pflicht

Einführung in die Integralrechnung

Das Riemann-Integral
Überlegungen zur Summenformel
Integral, Fläche, Integralfunktion

Bestimmtes Integral zur Flächenberechnung

Von der Flächen- zur Stammfunktion

Aufgaben zur Integral- und Differentialrechnung

30px   Aufgabe Delta 12/Seite 59/8-Gewitter Gewitter

Wolkenladung und Blitze
Elementarladung

Hier entsteht eine weitere anwendungsbezogene Aufgabe:

Was ist das?

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Freizeitgeographisch: Ein Lehrer auf Urlaubsfahrt in GB.
Naturgeographisch: Eine fossile Dünenlandschaft an einer rezenten Sand-Kies-Kliffküste in Deal bei Dover/GB
Kulturgeographisch:Eine Freizeitanlage, genauer ein englischer Golfplatz

Mathematisch: Ein Problem der Flächenbestimmung

30px   Aufgabe 1. Schätze die Fläche des Golfplatzes durch elementargeometrische Überlegungen ab. 2. Modelliere zwei Funktionen f und g, die westlichen und östlichen Begrenzungen des Golfplatzes darstellen können. Hinweis f und g sollen ganzrationale Funktionen möglichst niedrigen Grades sein. Nutze dazu Google-Maps (unten).Drehe dazu das Bild um 90° gegen die Uhrzeigerrichtung. 3. Bestimme nun mittels Methoden der Analysis die Fläche des Golfplatzes. 4. Warum ist der unter 3 berechnete Wert nur eine Untergrenze der Fläche des Golfplatzes?

Hier kommt die Musterlösung hin!

Kür

Zitiert aus Wikipedia:[2]

Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers

Rotation um x-Achse

Für einen Rotationskörper, der durch Rotation der Fläche, die durch den Graphen der Funktion f im Intervall [a,b], die x-Achse und die beiden Geraden $x=a$ und $x=b$ begrenzt wird, um die x-Achse entsteht, lautet die Formel zur Volumenberechnung:

$V = \pi \cdot \int_{a}^{b} (f(x))^2 \mathrm{d}x$

Rotation um y-Achse

Bei Rotation (um die y-Achse) der Fläche, die durch den Graphen der Funktion f im Intervall [a,b], die y-Achse und die beiden Geraden $y=f(a)$ und $y=f(b)$ begrenzt wird, muss man $y=f(x)$ umformen zur Umkehrfunktion $x=f^{-1}(y)$. Diese existiert, wenn f stetig und streng monoton ist. Falls nicht (wie z.B. im Bild rechts oben), lässt sich f vielleicht in Abschnitte zerlegen, in denen f jeweils stetig und streng monoton ist. Die zu diesen Abschnitten gehörenden Volumina müssen dann separat berechnet und addiert werden.

$V = \pi \cdot \int_{\min(f(a),f(b))}^{\max(f(a),f(b))} (f^{-1}(y))^2 \mathrm{d}y$

Wenn man hier $x = f^{-1}(y)$ substituiert, erhält man für das Volumen um die y-Achse

$V = \pi \cdot \int_{\min(f(a),f(b))}^{\max(f(a),f(b))} x^2 \mathrm{d}y = \pi \cdot \int_a^b x^2 \cdot \left|f'(x)\right|\mathrm{d}x$.

Der Absolutwert von f' und die min/max Funktionen in den Integralgrenzen sichern ein positives Integral.

Bei Rotation (um die y-Achse) der Fläche, die durch den Graphen der Funktion f im Intervall [a,b], die x-Achse und die beiden Geraden $x=a$ und $x=b$ begrenzt wird, gilt die Formel:

$V = 2 \pi \cdot \int_a^b (x \cdot f(x)) \, \mathrm{d}x$

30px   Aufgabe 1. Zeichne einen Halbkreis mit Mittelpunkt (0;0) und Radius r, der eine Funktion darstellt. Gib einen Funktionsterm für die Funktion an und überprüfe die obige Formel durch entsprechende Integration 2. Überprüfe die Volumenformel der Höhe des Grundkreisradius r und der Höhe h, indem Sie ein Dreieck mit um die y-Achse rotieren lassen. 3. Geben Sie zwei verschiedene Funktionstypen an mit Funktionsgleichung an, die von der breitesten Stelle an den Radius des Horns darstellen könnten. Der vordere Teil eines Musikinstrumentes genügt im dargestellten Intervall (Maßeinheit Dezimeter)auf dem angegebenen Intervall der angegebenen Funktionsgleichung. Welches Luftvolumen fasst es? Für das Volumen gilt die obige Formel $V = \pi \cdot \int_a^b ( [f(x)]^2\, \mathrm{d}x$.

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Berechnung der Mantelfläche eines Rotationskörpers

Für die Mantelfläche eines Rotationskörpers gilt:

Rotation um die x-Achse

$M = 2 \pi \cdot \int_a^b f(x) \sqrt{1+f'(x)^2} \mathrm{d}x$

Herleitung:[3]

30px   Aufgabe Überprüfe die Formel an einem Zylinder bzw. einem Kegel!

Übungsaufgabe

30px   Aufgabe handelsübliche Weinflasche - 1 Liter Handelsübliche 1-Liter- Weinflaschen bestehen aus einem zylindrischen Unterteil des Innendurchmessers 8 cm. Der oberste Teil wird durch einen zylindrischen Korken von 2 cm über. Dieser obere nicht zy lindrische Teil geht ist 20 cm hoch. 1. Welche Bedingung muss eine Funktion erfüllen, die die Flasche als Rotationskörper erzeugen soll? 2. Bestimmen Sie eine ganzrationale Funkton möglichst niedrigen Grades, die den Rotationskörper (ohne Zylinder erzeugt. 3. Für das Volumen gilt die obige Formel $V = \pi \cdot \int_a^b ( [f(x)]^2\, \mathrm{d}x$ Berechnen Sie dieses. 4. Wie hoch muss der angesetzte Zylinder sein, damit das Fassungsvermögen genau 1 Liter beträgt und noch 10 $cm ^3$Platz für Korken und Luft sind? 5. Die Abbildung zeigt die die insgesamt 32 cm hohe Flasche erzeugende Funktion. Um wieviel Prozent m ehr Wein würde sich in der Flasche befinden? Begründen Sie ohne Rechnung welche Höhe ein Kegel haben müsste, der den Boden bildet und das zusätzliche Volumen ausgleicht. Zum Vergrößern Bild anklicken 6. Die nebenstehende Abbildung zeigt drei Funktionen t(h), die die Zeit eines Füllvorganges der Flasche mit kegelförmigem Boden in Abhängigkeit von der Füllhöhe h bei konstantem Zufluss (<math<20 cm^3/s, 40 cm^3/s und 80^3 ccm/s)</math> kennzeichnet.(Flasche mit kegelförmigem Boden. Erklären Sie den Verlauf der Kurve 2. Ordnen Sie den Parametern $a = 20, a = 40, a = 80 die Graphen (1), (2) und (3)$ richtig und begründen Sie Ihre Aussage. Untersuchen Sie an den Graphen, ob die Füllmenge bis zu einem festen Wert von h indirekt proportional zu dem Parameter a ist und begründen Sie Ihre Aussage.

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1.

Bedingungen sind $f(0)= 1;f(20)=4$ und wegen des horizontalen Überganges zusätzlich

dass die Ableitung an den Stellen 0 und zwanzig 0 ist.

Lösung des Gleichungssystems mit dem Classpad

2.
Für diese 4 Bedingungen muss man mindestens eine ganzrationale Funktion aufstellen.

$y =ax^3 + bx^2 + cx +d$ mit der Ableitung $y =3ax^2 + 2bx + c$
Also ergibt sich das Gleichungssystem

(1)$1 = d$
(2)$0 = c$
(3)$4 = 8000 a + 400 b + 20 c + d$
(4)$0 = 1200 a + 40 b + c$
,
welches durch (1) und (2) auf zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten reduziert wird und die Lösungen

(1)$a=-3/4000, b = 9/400, c=0$ und $d = 1$besitzt.

Ergänzung

3.

Berechnung des Volumens von Hand und mit CASIO Classpad

4. Das Volumen der Flasche muss 1010 Kubikzentimeter betragen. Mit dem Ergebnis von Aufgabe 3 ergibt sich der Ansatz:

$461 + 4^2*pi*h = 1010$ und damit für die Höhe des Zylinders rund 11 cm.
5. Der Zylinder ist 1 cm zu hoch. Um das Volumen durch die kegelförmige Aussparung im Boden auszugleichen muss der Kegel 3 cm hoch sein, da das Zylindervolumen bei gleichem Grundkreisradius und gleicher Höhe dreimal so groß ist das Kegelvolumen.

6.

Im unteren Bereich der Flasche nimmt die Querschnittsfläche der Flasche mit der Höhe zu. Daher wächst die Zeitdauer(Füllhöhe) überproportional. Darüber wächst im zylinderförmigen Teil die weitere Füllzeit bei gleichem Querschnitt direkt proportional. Im Flaschenhals nimmt dagegen wegen der immer kleiner werdenden Querschnittsfläche die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Höhe wieder ab.

Zuordnung: 80 - 1 40 - 3 20 - 2

Bis zu einer bestimmten Höhe h hat die Flasche ein festes Volumen! Daher ist bei doppelter Zuflussmenge die halbe Zeit zum Füllen des Volumens notwendig. Also sind die Größen indirekt proportional.

Für weitere Untersuchungen:

30px   Aufgabe Entnehmen Sie ausgehend von der Höhe von 20 cm der abgebildeten Flasche wesentliche Werte für eine mathematische Modellierung der Flasche. Welchen Grad muss eine ganzrationale Funktion besitzen, um die Flasche als Rotationskörper im Intervall von 0 bis 20] zu erzeugen? Bestimmen Sie diese Funktion. Bestimmen Sie für einen Glasballon, den Sie zuhause besitzen eine erzeugende Funktion und stellen Sie den Glasballon mit dem Ergebnis in einer Präsentation vor.

Informationen

Länderübergreifendes Abitur

Musteraufgabe mit Zusatzinformationen

CAS-Abitur - traditionelles Abitur

Matheabi
unterscheidet sich nur in Geringfügigkeiten vom
CAS-Matheabi

CASIO-Class Pad

• Schnellübersicht zum Arbeiten mit dem CASIO
• Ausführliche Bedienungsanleitung
  

Die pdf-Datei kann im Adobe-Reader nach Stichworten durchsucht werden. Also nicht vor der Seitenzahl erschrecken°

• Der Class-Pad im Matheabi von Niedersachsen
• Anwendungsbeispiele
• Arbeitsblätter
• Abeitsblätter von CASIO