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Die Binomialverteilung und Wahrscheinlichkeiten binomial verteilter Größen
Für die Binomialverteilung gelten bekanntlich folgende wichtige Formeln:
Datei:Binformel.gif
Sie spielen eine wichtige Rolle bei den Tests binomial verteilter Größen. In der Regel kommt man dabei nicht ohne eine Stochastische Tabelle aus.
Mittels Geogebra sollen nun diese Berechnungen wie mit einem Computer-Algebra-System durchgeführt. Neben den reinen Berechnungen ergibt sich auch ein besseres Verständnis mancher Zusammenhänge.
Datei:Heim22.jpg
Ansicht der GEOGEBRA-Anwendung
Media: Binomialverteilung.ggb
Erstellt von Bernhard Heim
Diese Datei erfordert die Installation der Version Web-Start von Geogebra! [1]
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Arbeitsaufgaben:
Eigenschaften der Binomialverteilung
1. Verändere bei gleichem p den Wert für n und beschreibe die Beobachtungen. Lies die Werte für den Erwartungswert und die Standardabweichung ab. Wie ändert sich die Standardabweichung bei wachsendem n?
Den Mittelwert kann man sich durch Aktivieren des Schalters b im Algebrafenster im Geometriefenster anzeigen lassen.
2. Verändere nun bei konstantem n den Wert für p.
Für welches p ergibt sich eine symmetrische Verteilung?
Für welches p besitzt das Maximum der Wahrscheinlichkeitsverteilung den kleinsten Wert?
Für welchen Wert k wird bei vorgegebenem n das Maximum der Wahrscheinlichkeit P(Z = k) angenommen?
3. Gehört folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung zu B(80; 0,5), B(80;0,6) B(100;0,4). Begründe ausführlich!
Datei:Heim25.gif
Wahrscheinlichkeiten bestimmen
Die B(n,p,r)-Werte liest man im Geometrie-Fenster ab. Um die F(n,p,r), also die aufsummierten Wahrscheinlichkeiten bis r zu erhalten, aktiviert man den Knopf c und variiert den Schieberegler r. Eine ähnliche Funktion hat der Knopf d mit dem Schieberegler s, die Wahrscheinlichkeiten ab s bis n aufsummiert. Die Werte liest man im Algebrafenster ab. Einstellungen für die Genauigkeit, maximalem n, r, s nach Bedarf ändern.
4. Bestimme mittels des der Geo-Gebra-Datei
....a)P(Z = k) für p = 0,5 n = 1000 k = 400; p = 0,8 n = 50 k = 40
....b)P(Z <=k) für p = 0,4 n = 500 k = 350; p = 0,6 n = 100 k = 55
....c)P(Z >=k) für p = 0,25 n = 200 k = 75; p = 0,2 n = 500 k = 70
....d)P(k1<=Z<=k2) für p= 0,4 n = 200 k1= 60; k2 = 100
Vergleiche die Werte mit Taschenrechnerwerten bzw. Werten aus der Tabelle.
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Beispiel für eine Fragestellung, die mit Tabelle nicht lösbar ist:
In einem Biotop treten zwei Varietäten der gleichen Art auf, die sich äußerlich nicht unterscheiden: Varietät A mit einer Wahrscheinlichkeit von 40 %, Varietät B mit einer Wahrscheinlichkeit von 60 %. Unter der Annahme die beiden Varietäten seien in dem Biotop binomial verteilt sollen nun für weitere Untersuchungen eine bestimmte Anzahl n von der Art gefangen werden:
a) Wie groß ist n zu wählen, damit man mit 80-%-iger Wahrscheinlichkeit mindestens 1 Exemplar der Varietät A fängt.
b) Wie groß ist n zu wählen, damit man mit 80-%-iger Wahrscheinlichkeit mindestens 50 Exemplare der Varietät A fängt.
Lösung Aufgabe a)
Über das Gegenereignis erhält man: Datei:Bin1.gif
Mittels der festen Einstellung p = 0,4 und s = 1 erhält man mittels Experimentieren mit dem Schieberegler n die Lösung n = 4
Lösung Aufgabe b)
Die Aufgabe ist mit der Binomialverteilung rechnerisch nicht lösbar. Auch die Stochastische Tabelle liefert keine Lösung, da Die F(n,p,r) über n tabelliert sind, aber nicht über r.
Die Aufgabe mit dem "Experimentierkasten" für festeingestelltes p = 0,4 und s = 50 liefert n = 136.
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Arbeitsaufgaben:
Datei:Heim23.gif
Um von beiden Varietäten ausreichend Exemplare für die Untersuchung zur Verfügung haben beschränkt man auch die Zahl nach oben.
5. Bestimme wieviel Exemplare man fangen muss, damit mit mehr als 94,5 %-iger Wahrscheinlichkeit mindestens 40 Exemplare, aber höchstens 60 Exemplare der Varietät A gefangen werden. Definiere dazu eine entsprechende Zahl aus den Zahlen c und d, die die gesuchte Wahrscheinlichkeit angibt.
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Testverfahren für binomial verteilte Größen
 Einseitiger Hypothesentest - Entscheidungsregel
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Arbeitsaufgaben:
1. Sieh das Video genau an. Es hat sich ein Fehler eingeschlichen. Entdeckst Du ihn?
2. Überprüfe die Entscheidungsregel mittels der Tabelle bzw. dem Experimentierkasten.
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Exkurs zur Normalverteilung 1
Wir betrachten folgende Funktion. Sie ist in unserem "Experimentierkasten" bereits definiert
Datei:Bin2.gif
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Arbeitsaufgaben:
1. Blende die phi-Funktion ein und beschreibe wie sich ihr Graph verändert, wenn man n verändert.
2. Für welche wähle n<10. Für welche Werte von p ist die phi-Funktion eine gute/schlechte Näherung.
3. Wähle n>500. Was gilt nun?
4. Diskutiere die phi-Funktion durch Rechnung und mit den Mitteln, die Geogebra zur Verfügung stellt.(Maximum, Wendepunkte, Krümmungsverhalten)
5. Bei sehr großem Wert von n ist also die Wahrscheinlichkeit F(n,p,r) in etwa gleich dem Flächeninhalt unter der Kurve phi. Diesen wollen wir mit Phi(x) bezeichnen. Wie kann man diesen bestimmen? Schreibe einen möglichen Ansatz auf.
6. Bestimme mittels Geogebra und der phi-/Phi-Funktion die Wahrscheinlichkeit, dass bei 6000 Würfen mit einem Würfel ein Sechser mindestens 750 Mal, aber höchstens 1250 Mal auftritt. Vergleiche die Wahrscheinlichkeit, wenn Du die Binomialverteilung nimmst.
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Das Dilemma ist nun zum einen, dass man diese Funktion Phi(n,p,r) nicht geschlossen darstellen kann. Zum anderen hat man gesehen, dass die phi-Funktionen von n und p abhängig sind. Das Tafelwerk müsste extrem umfangreich sein.
Exkurs zur Normalverteilung 2
Die Koordinatentransformation
Datei:Bin3.gif
verschiebt die Histogramme mit ihrem Erwartungswert in den Ursprung und staucht sie in x-Richtung um den Faktor sigma, streckt sie in y-Richtung auf das sigma-fache: der Flächeninhalt des Rechtecks, das B(n,p,r) bleibt also gleich.
Die Funktion phi, die für jedes n und jedes p eine andere Kurve lieferte geht über in eine einzige Funktion:
Datei:Bin4.gif
unabhängig von n oder p und für diese lässt sich der Integralwert in Stochastischen Tafelsammlungen leicht tabellieren.
Datei:Bin5.gif
Datei:Heim24.gif
Ansicht der GEOGEBRA-Anwendung
Mit der folgenden Anwendung kann man ebenfalls ohne Verwendung einer Tabelle Aufgaben lösen, für die man konventionell nicht mit der Binomialverteilung arbeiten konnte, sondern auf die Normalverteilung mit Tafelwerk angewiesen war. In Geogebra sind die Aufgaben sowohl mit der obigen Anwendung möglich als auch mit der unten angegebenen.
Media: Normalverteilung.ggb
Erstellt von Bernhard Heim
Diese Datei erfordert die Installation der Version Web-Start von Geogebra! [2]
Ein Beispiel für ganz andere Verteilungen
Das delta 12 auf S. 113/20 beschreibt eine Anwendung aus der Wirtschaft, die für die Abschätzung von Garantiefragen wichtig ist.
Simulieren lässt sich dies durch die folgende Geogebra-Anwendung:
<Datei:Heim26.gif
Media:garantie.ggb
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