M10 Der Logarithmus

Die Gleichung $2^x = 4$ ist ganz leicht zu lösen. Man erhält $x = 2$. Dies geht immer gut, wenn der Wert auf der rechten Seite eine Potenz der Basis ist, also
$2^x = 1024$ hat die Lösung $x = 10$,
$5^x = 625$ hat die Lösung $x = 4$,
$3^x = 243$ hat die Lösung $x = 5$.

Doch was macht man, wenn die Gleichung $2^x = 5$ lautet?

Man hatte schon einmal ein ähnliches Problem. Die Gleichung $x^2 = 4$ hat die Lösungen $x_1 = -2$ und $x_2=2$. Für die Gleichung $x^2 = 5$ hat man dann neue Zahlen eingeführt, die Wurzeln, und die Gleichung hatte die Lösungen $x_1 = -\sqrt 5, x_2 = \sqrt 5$.

Für die Gleichung $2^x = 5$ muss man, um eine Lösung zu haben, neue Zahlen einführen, die Logarithmen bzw. den Logarithmus.

Merke: Die Gleichung $a^x = p$ mit a $\in$ R+ und p > 0 hat die Lösung $x = log_a (p)$. Man spricht für $x = log_a (p)$: "x ist der Logarithmus von p zur Basis a"

Beispiele: $2^x = 4$ hat die Lösung $x = log_2(4) = 2$
$3^x = 243$ hat die Lösung $x = =log_3(243)=5$
$10^x = 5$ hat die Lösung $x = log_{10}(5)$
$2^x = 19$ hat die Lösung $x = log_2[18)$

  Aufgabe 1

1. Schreibe den Exponenten als Logarithmus
a) $2^3 = 8$
b) $5^4 = 625$
c) $2^{-3} = \frac{1}{8}$
d) $7^0 = 1$
e) $10^{-2}=0,01$
f) $100^{\frac{1}{2}}=10$

2. Schreibe die Logarithmusgleichung als Exponentialgleichung
a) $log_3(9) = 2$
b) $log_4(16) = 2$
c) $log_4(\frac{1}{16}) = -2$
d) $log_8(0,125) = -1$
e) $log_3(\frac{1}{81})= -4$

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

1a) $3 = log_2(8)$
b) $4 = log_5(625)$
c) $-3 = log_2(\frac{1}{8})$
d) $0 = log_7(1)$
e) $-2 = log_{10}(0,1)$
f) $\frac{1}{2}=log_{100}(10)$

2a) $3^2 = 9$
b) $4^2 = 16$
c) $4^{-2}=\frac{1}{16}$
d) $8^{-1}=0,125$

e) $3^{-4}=\frac{1}{81}$

Merke: Es ist $log_a(a) = 1$ $log_a(a^r) = r$ $log_a(1) = 0$

  Aufgabe 2

1. Beerechne ohne TR
a) log₂32
b) log₂1024
c) log₃243
d) log₇7
e) log₁₀10000
f) log₁₀1
g) log₂0,5
h) log₂$\frac{1}{8}$
i) log₂0,25
k) log₅0,2
l) log₅0,04
m) log₅0,008
n) log₁₀0,1
o) log_0,110
p) log_0,11000
q) log_0,10,01
r) log_0,11
s) log_0,5$\frac{1}{4}$
t) log_0,5$\frac{1}{2}$
u) log_0,52
v) log_2,56,25
w) log_2,51
x) log_2,50,4
y) log_2,50,16

2. Berechne ohne TR
a) $log_7(\sqrt 7)$
b) $log_4(2)$
c) $log_2(\sqrt[3]2)$
d) $log_{27}(3)$
e) $log_{32}(2)$
f) $log_5(\sqrt[3]{25})$
g) $log_3(\sqrt{27})$
h) $log_2(2\sqrt 2)$
i) $log_2(8\sqrt 8)$
k) $log_{100}(10)$
l) $log_{100}(1000)$
m) $log_{100}(0,001)$
n) $log_{\sqrt 3}(3)$
o) $log_{\sqrt 6}(\frac{1}{6})$
p) $log_{\sqrt 2}(2^{-3})$
q) $log_{\sqrt 7}(1)$

Tipp: Stelle die passende Exponentialgleichung auf!
Für log₂(32) lautet die Exponentialgleichung $2^x = 32$, also x = 5

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Stelle eventuell die passende Exponentialgleichung auf!
Für log₂(32) lautet die Exponentialgleichung $2^x = 32$, also x = 5

1a) 5; b) 10; c) 5; d) 1; e) 4; f) 0; g) -1; h) -3; i) -2; k) -1; l) -2; m) -3
n) -1; o) -1; p) -3; q) 2; r) 0; s) 2; t) 1; u) -1; v) 2; w) 0; x) -1; y) -2

2a) 0,5; b) 0,5; c) $\frac{1}{3}$; d) $\frac{1}{3}$; e) $\frac{1}{5}$; f) $\frac{2}{3}$; g) $\frac{3}{2}$; h) $\frac{3}{2}$;;

i) $\frac{9}{2}$; k) 0,5; l) $\frac{3}{2}$; m) $-\frac{3}{2}$; o) 2; p) -6; q) 0

  Aufgabe 3

Logarithmiere
a) $log_a(a^3)$
b) $log_a(a^5)$
c) $log_a(1)$
d) $log_a(\frac{1}{a^2})$
e) $log_a(\frac{1}{a})$
f) $log_a(a)$
g) $log_a(\sqrt a)$
h) $log_a(\sqrt[5]{a})$
i) $log_a(\sqrt[4]{a^3})$
k) $log_a(\frac{1}{\sqrt a})$

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) $log_a(a^3)= 3$
b) $log_a(a^5)= 5$
c) $log_a(1)= 0$
d) $log_a(\frac{1}{a^2})= -2$
e) $log_a(\frac{1}{a})= -1$
f) $log_a(a)=1$
g) $log_a(\sqrt a)=\frac{1}{2}$
h) $log_a(\sqrt[5]{a})=\frac{1}{5}$
i) $log_a(\sqrt[4]{a^3})=\frac{3}{4}$

k) $log_a(\frac{1}{\sqrt a})=-\frac{1}{2}$

Merke: Rechengesetze des Logarithmus Logarithmus eines Produkts: $log_a(p\cdot q) = log_a(p) + log_a(q)$ Logarithmus eines Quotienten: $log_a(\frac{p}{q})=log_a(p) - log_a(q)$ Logarithmus einer Potenz: $log_a(p^r) = r\cdot log_a(p)$

Zur Begründung der Rechenregeln:
Man geht bei den Begründungen auf die Definition des Logarithmus zurück und macht dann entsprechende Umformungen bei den Exponentialgleichungen. Das Ergebnis erhält man, wenn man die Exponenten vergleicht.
1. $log_a(p\cdot q) = log_a(p) + log_a(q)$ erhält man durch folgende Überlegung:
$p = b^x$ und $q = b^y$. Dann ist $p\cdot q = b^x \cdot b^y = b^{x+y}$, also $x + y = log_b(p\cdot q)$.
Da $x = log_b (p)$ und $y = log_b(q)$ ist erhält man $log_b(p)+log_b(q)=x+y=log_b(p\cdot q)$.

2. $log_a(\frac{p}{q}) = log_a(p) - log_a(q)$ erhält man durch folgende Überlegung:
$p = b^x$ und $q = b^y$. Dann ist $p : q = b^x : b^y = b^{x-y}$, also $x - y = log_b(p : q)$.
Da $x = log_b (p)$ und $y = log_b(q)$ ist erhält man $log_b(p)-log_b(q)=x-y=log_b(p: q)=\log_b(\frac{p}{q})$.

3. Es ist $a^{log_a(p^r)} = p^r = (a^{log_a(p)})^r=a^{r\cdot log_a(p)}$. Zwei Potenzen mit gleicher Basis haben denselben Wert, wenn auch ihre Exponenten gleich sind, also $log_a(p^r) = r\cdot log_a(p)$.

Beispiele:1. $log_3(9a^4)=log_3(9)+log_3(a^4)=log_3(3^2)-4\cdot log_3(a) = 2 + 4log_3(a)$

2. $log_{10}(1000\cdot\sqrt[5]{a^2}=log_{10}(1000)+log_{10}(a^{\frac{2}{5}})=3 +\frac{2}{5}log_{10}(a)$

3. $log_2 (6) log_2(48) = log_2(\frac{6}{48})=log_2(\frac{1}{8})=log_2(2^{-3})=-3$

Merke Für $log_{10}$ schreibt man $lg$ Für $log_e$ schreibt man $ln$, wenn e die Eulersche Zahl e = 2, 718 281 828 459 045 235 360 287 ... ist. Diese beiden Symbole findest du auch auf dem Taschenrechner.

4. $lg(\sqrt {250})-lg(\sqrt 2)+0,5lg(8)=lg({\frac{\sqrt {250} \cdot \sqrt 8}{\sqrt 2}}= lg(\sqrt{1000} =\lg(10^{\frac{3}{2}})=\frac{3}{2}$

  Aufgabe 4

Für die Logarithmen zur Basis 2 hat man diese Tabelle:

Berechne die Logarithmen auf zwei verschiedene Arten:
1.) indem du zuerst das Argument des Logarithmus berechnest und dann logarithmierst.
2.) indem die Rechenregeln verwendest und die Logarithmen addierst, subtrahierst, ....

Beispiel: log₂(4·8) berechnest du als
1.) log₂(4·8)=log₂(32)=5
2.) log₂(4·8) = log₂(4) + log₂(8)= 2 + 3 = 5

a) log₂(4·16)
b) log₂(4·32)
c) log₂(8·32)
d) log₂($\frac{32}{8}$)
e) log₂($\frac{64}{4}$)
f) log₂($\frac{128}{8}$)
g) log₂($\frac{256}{32}$)
h) log₂(4³)
i) log₂(8⁵)

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) 1.) log₂(4·16)=log(64)=6
2.) log₂(4·16)= log₂(4) + log₂(16) = 2 + 4 = 6

b) 1.) log₂(4·32)= log₂(128) = 7
2.) log₂(4·16) = log₂(4) + log₂(16) ? 2 + 4 = 6

c) 1.) log₂(8·32) = log₂(256) = 8
2.) log₂(8·32)= log₂(8) + log₂(32) = 3 + 5 = 8

d) 1.) log₂($\frac{32}{8}$) = log₂(4) = 2
2.) log₂($\frac{32}{8}$) = log₂(32) - log₂(8) = 5 - 3 = 2

e) 1.) log₂($\frac{64}{4}$) = log₂(16) = 4
2.) log₂($\frac{64}{4}$) = log₂(64) - log₂(4) = 6 - 2 = 4

f) 1.) log₂($\frac{128}{8}$) = log₂(16) = 4
2.) log₂($\frac{128}{8}$) = log₂(128) - log₂(8) = 7 - 3 = 4

g) 1.) log₂($\frac{256}{32}$) = g) log₂(8) = 3
2.) g) log₂($\frac{256}{32}$) = log₂(256) - log₂(32) = 8 - 5 = 3

h) 1.) log₂(4³) = log₂(512) = 9
2.) log₂(4³) = 3·log₂(4) = 3·3 = 9

i) 1.) log₂(8⁵) = log₂(32768) = 15

2.) log₂(8⁵) = 5·log₂(8) = 5·3 = 15

Merke Nicht verwechseln!

Merke: Basiswechsel: $log_a(p) = \frac{log_b(p)}{log_b(a)}$

Zur Begründung: $x = log_a(p)$ ist Lösung der Gleichung $a^x = p$.
Nun möchte man die Basis a durch die Basis b ersetzen. Dazu verwendet man, dass $a = b^{log_b(a)}$ ist.
Es ist dann $a^x = (b^{log_b(a)})^x = b^{x \cdot log_b(a)}$ und die Gleichung lautet dann $b^{x \cdot log_b(a)}=p$
Diese Gleichung löst man nach dem Exponenten auf. Es ist $x \cdot log_b(a) = log_b(p)$, dividiert durch den Koeffizienten von x und erhält $x = \frac{log_b(p)}{log_b(a)}$.
Damit hat man gezeigt, dass $log_a(p) = x = \frac{log_b(p)}{log_b(a)}$ ist.

Beispiele: Auf den Taschenrechnern sind immer zwei Logarithmus-Tasten, meist eine Taste log oder lg für den Logarithmus zur Basis 10 und ln für den Logarithmus zur Basis e.
$log_2(5) = \frac{lg(5)}{lg(2)}\approx 2,231928$
$log_7(2)=\frac{ln(2)}{ln(7)}\approx 0,359207$

  Aufgabe 5

Vervollständige die Tabellen mit Hilfe deines Taschenrechners:
1.

2. Verwende die Formel für den Basiswechsel!

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

1.

2.

Ich habe diese Tabelle mit einer Tabellenkalkulation erstellt, dort gibt man auch die Basis ein, also berechnet man tatsächlich den gewünschen Logarithmus. Ihr sollt aber ja den Basiswechsel am TR üben.

  Aufgabe 6

Bearbeite die Aufgaben auf
1. dieser Seite.
2. dieser Seite.
3. dieser Seite.