Abstands- und Winkelbestimmungen: Unterschied zwischen den Versionen

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<math>\vec{n}^o \circ (\vec{x} - \vec{a})= \frac{\vec{n} \circ (\vec{x} - \vec{a})}{\vert \vec{n} \vert} = \frac{n_1 x_1+n_2 x_2 + n_2 x_3-(n_1 a_1 + n_2 a_2 + n_3 a_3)}{\vert \vec{n} \vert}  = 0</math>
 
<math>\vec{n}^o \circ (\vec{x} - \vec{a})= \frac{\vec{n} \circ (\vec{x} - \vec{a})}{\vert \vec{n} \vert} = \frac{n_1 x_1+n_2 x_2 + n_2 x_3-(n_1 a_1 + n_2 a_2 + n_3 a_3)}{\vert \vec{n} \vert}  = 0</math>
  
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Für die Hessesche Normalform (HNF) muss außerdem gelten, dass <math>\vec{n} \circ \vec{a} > 0</math> ist. Das ist so festgelegt. In der HNF muss also vor der Konstanten <math>\vec{n} \circ \vec{a} > 0</math> ein Minuszeichen stehen!
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Für die Hessesche Normalform (HNF) muss außerdem gelten, dass <math>\vec{n} \circ \vec{a} > 0</math> ist. Das ist so festgelegt. In der HNF in Koordinatenschreibweise muss also vor der Konstanten <math>\vec{n} \circ \vec{a} > 0</math> ein Minuszeichen stehen!
  
 
{{Aufgaben-blau||2= Geben Sie die Hessesche Normalenform an: <br>
 
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b)  <math>-\frac{3 x_1 + x_2 -20 x_3 + 45}{\sqrt{410}}  = 0</math> Beachten Sie das Minuszeichen vor dem Bruch. Man kann dieses Minuszeichen in den Zähler bringen und hat dann diese HNF  <math>\frac{-3 x_1 - x_2 + 20 x_3 - 45}{\sqrt{410}}  = 0</math>
 
b)  <math>-\frac{3 x_1 + x_2 -20 x_3 + 45}{\sqrt{410}}  = 0</math> Beachten Sie das Minuszeichen vor dem Bruch. Man kann dieses Minuszeichen in den Zähler bringen und hat dann diese HNF  <math>\frac{-3 x_1 - x_2 + 20 x_3 - 45}{\sqrt{410}}  = 0</math>
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{{Aufgaben-blau||2=Für die erste Ebene steht in der Normalenform -4, also ist das Skalarprodukt <math>\vec{n} \circ \vec{a} = 4</math>, positiv.<br> Betrachten Sie für diese Ebene den den Normalenvektor <math>\vec{n}</math> und den Vektor <math>\vec{a}</math> . Hier ist der Normalenvektor <math>\vec{n} = }vec{AP}</math> .<br>
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Was stellen Sie fest? }}
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{{Lösung versteckt| Man sieht, dass beide Vektoren vom Urprung aus in die gleiche durch die Ebene E erzeugte Halbebene zeigen. <math>\vec{n}</math> und <math> \vec{a} > 0</math> haben in etwa "die gleiche Richtung", das Skalarprodukt ist positiv.}}
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Die Festlegung

Version vom 22. März 2020, 10:50 Uhr

Dieses Thema ist im Buch auf S. 151 ausführlich beschrieben. Lesen Sie bitte diese Seite aufmerksam.

Hintergrund zur Hesseschen Normalenform (HNF):

Wir kennen die Normalenform einer Ebenengleichung. \vec{n} \circ (\vec{x} - \vec{a})=0.
Normiert man den Normalenvektoer \vec{n}, also \vec{n}^o =\frac{\vec{n}}{\vert \vec{n} \vert}, dann erhält man einen Vektor \vec{n}^o, der die gleiche Richtung wie der Normalenvektor \vec{n} und die Länge \vert \vec{n}^o \vert =\frac{\vert \vec{n} \vert}{\vert \vec{n} \vert}=1 hat.
Mit dem Vektor \vec{n}^o erstellt man ebenso eine Normalenform \vec{n}^o \circ (\vec{x} - \vec{a})=0 der Ebene. Man kann dies umformen und in Koordinatenschreibweise angeben:
\vec{n}^o \circ (\vec{x} - \vec{a})= \frac{\vec{n} \circ (\vec{x} - \vec{a})}{\vert \vec{n} \vert} = \frac{n_1 x_1+n_2 x_2 + n_2 x_3-(n_1 a_1 + n_2 a_2 + n_3 a_3)}{\vert \vec{n} \vert} = 0

Für die Hessesche Normalform (HNF) muss außerdem gelten, dass \vec{n} \circ \vec{a} > 0 ist. Das ist so festgelegt. In der HNF in Koordinatenschreibweise muss also vor der Konstanten \vec{n} \circ \vec{a} > 0 ein Minuszeichen stehen!


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe

Geben Sie die Hessesche Normalenform an:
a) 2x1+ x2 - 2x3 - 4 = 0 b) 3x1+ x2 - 20x3 + 45 = 0

a) \frac{2 x_1+ x_2 -2 x_3 - 4}{3} = 0

b) -\frac{3 x_1 + x_2 -20 x_3 + 45}{\sqrt{410}} = 0 Beachten Sie das Minuszeichen vor dem Bruch. Man kann dieses Minuszeichen in den Zähler bringen und hat dann diese HNF \frac{-3 x_1 - x_2 + 20 x_3 - 45}{\sqrt{410}} = 0


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe

Für die erste Ebene steht in der Normalenform -4, also ist das Skalarprodukt \vec{n} \circ \vec{a} = 4, positiv.
Betrachten Sie für diese Ebene den den Normalenvektor \vec{n} und den Vektor \vec{a} . Hier ist der Normalenvektor Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): \vec{n} = }vec{AP} 

.

HNF_1
Was stellen Sie fest?

Man sieht, dass beide Vektoren vom Urprung aus in die gleiche durch die Ebene E erzeugte Halbebene zeigen. \vec{n} und \vec{a} > 0 haben in etwa "die gleiche Richtung", das Skalarprodukt ist positiv.

Die Festlegung

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