Abstands- und Winkelbestimmungen: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Lösung versteckt|1=a) Die Ebene E hat als HNF <math> \frac{2x_1+x_2+2x_3}{3}=0</math>. <br>
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Der Ursprung O hat den Abstand von der Ebene E <math>d(O,E)=\vert \frac{0+0+0-2}{3} \vert=\vert\frac{-2}{3}\vert=\frac{2}{3}</math>. <br>
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Man kann die Rechnung auch ohne Betragstriche machen. Ergibt sich ein negatives Ergebnis wie hier <math>-\frac{2}{3}</math> nimmt man hiervon den Betrag.<br>
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Der Abstand des Punktes P(6;-1;9) von der Ebene E ist <math>d(P,E)=\frac{2\cdot6-1+2\cdot9}{3})=\frac{27}{3}=9</math>
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b) Die Ebene E hat als HNF <math> \frac{x_1-x_2+6}{\sqrt{2}}=0</math>. <br>
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Der Ursprung O hat den Abstand von der Ebene E <math>d(O,E)= \frac{0-0+6}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}</math>. <br>
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c) Die Ebene E hat als HNF <math> \frac{x_1-2 \cdot x_2-2\cdot x_3}{3}=0</math>. <br>
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Der Ursprung O hat den Abstand von der Ebene E <math>d(O,E)= \frac{0-0-0}{3} = 0</math>. Der Ursprung liegt in der Ebene E. <br>
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Der Punkt P(-1;1;3) hat von E den Abstand <math>d(P,E)=\vert \frac{-1-2-6}{3} \vert=\vert \frac{-9}{3}\vert =3</math>.
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d) Die Ebene E hat als HNF <math> \frac{3\cdot x_1+4\cdot x_3-10}{5}=0</math>. <br>
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Der Ursprung O hat den Abstand von der Ebene E <math>d(O,E)=\vert \frac{0+0-10}{5}\vert = \vert -2\vert = 2</math>. <br>
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Der Punkt P(4;-1;2) hat von E den Abstand <math>d(P,E)=\frac{12+8-10}{5}=\frac{10}{5}=2</math>.<br>
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O und P liegen jeweils im Abstand 2 in verschiedenen Halbräumen zur Ebene E.<br>
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Version vom 24. März 2020, 17:20 Uhr

Dieses Thema ist im Buch auf S. 151 ausführlich beschrieben. Lesen Sie bitte diese Seite aufmerksam.


Die Hessesche Normalenform (HNF)

Winkelberechnungen

Aufgaben

S. 153/1

a) Die Ebene E hat als HNF  \frac{2x_1+x_2+2x_3}{3}=0.
Der Ursprung O hat den Abstand von der Ebene E d(O,E)=\vert \frac{0+0+0-2}{3} \vert=\vert\frac{-2}{3}\vert=\frac{2}{3}.

Man kann die Rechnung auch ohne Betragstriche machen. Ergibt sich ein negatives Ergebnis wie hier -\frac{2}{3} nimmt man hiervon den Betrag.

Der Abstand des Punktes P(6;-1;9) von der Ebene E ist d(P,E)=\frac{2\cdot6-1+2\cdot9}{3})=\frac{27}{3}=9

b) Die Ebene E hat als HNF  \frac{x_1-x_2+6}{\sqrt{2}}=0.
Der Ursprung O hat den Abstand von der Ebene E d(O,E)= \frac{0-0+6}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}.
Der Punkt P(7;7;2) hat von E den Abstand d(P,E)=\frac{7-7+6}{\sqrt{2}})=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}.

c) Die Ebene E hat als HNF  \frac{x_1-2 \cdot x_2-2\cdot x_3}{3}=0.
Der Ursprung O hat den Abstand von der Ebene E d(O,E)= \frac{0-0-0}{3} = 0. Der Ursprung liegt in der Ebene E.
Der Punkt P(-1;1;3) hat von E den Abstand d(P,E)=\vert \frac{-1-2-6}{3} \vert=\vert \frac{-9}{3}\vert =3.

d) Die Ebene E hat als HNF  \frac{3\cdot x_1+4\cdot x_3-10}{5}=0.
Der Ursprung O hat den Abstand von der Ebene E d(O,E)=\vert \frac{0+0-10}{5}\vert = \vert -2\vert = 2.
Der Punkt P(4;-1;2) hat von E den Abstand d(P,E)=\frac{12+8-10}{5}=\frac{10}{5}=2.
O und P liegen jeweils im Abstand 2 in verschiedenen Halbräumen zur Ebene E.

Abstand