Abstands- und Winkelbestimmungen: Unterschied zwischen den Versionen
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Man sieht, dass die beiden Dreiecke AA<sup>*</sup>P und AA<sup>*</sup>P<sup>*</sup> das Parallelogramm ergeben. Z = F ist der Lotfusspunkt des Lotes von P auf g, also ist die <math>h^'=\vert \vec{PZ} \vert</math> die Höhe des Dreiecks AA<sup>*</sup>P und <math>g^'=\vert \vec{AA^*} \vert</math> die Grundlinie des Dreiecks . Damit ergbit <math>A = 2\cdot A_{AA^*P} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \vert \vec{AA^*} \vert \cdot \vert \vec{PZ} \vert = 2 \frac{1}{2} \cdot \vert \left( \begin{array}{c} -4 \\\ 1 \\\ -1 \end{array}\right) \vert \cdot \vert \left( \begin{array}{c} -2 \\\ -14 \\\ -6 \end{array}\right) \vert = \sqrt{18}\cdot\sqrt{236} = 6\sqrt{118} \approx 65,2</math><br> | Man sieht, dass die beiden Dreiecke AA<sup>*</sup>P und AA<sup>*</sup>P<sup>*</sup> das Parallelogramm ergeben. Z = F ist der Lotfusspunkt des Lotes von P auf g, also ist die <math>h^'=\vert \vec{PZ} \vert</math> die Höhe des Dreiecks AA<sup>*</sup>P und <math>g^'=\vert \vec{AA^*} \vert</math> die Grundlinie des Dreiecks . Damit ergbit <math>A = 2\cdot A_{AA^*P} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \vert \vec{AA^*} \vert \cdot \vert \vec{PZ} \vert = 2 \frac{1}{2} \cdot \vert \left( \begin{array}{c} -4 \\\ 1 \\\ -1 \end{array}\right) \vert \cdot \vert \left( \begin{array}{c} -2 \\\ -14 \\\ -6 \end{array}\right) \vert = \sqrt{18}\cdot\sqrt{236} = 6\sqrt{118} \approx 65,2</math><br> | ||
'''mit dem Vektorprodukt:''' In der Merkhilfe findet man die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks. Für unser Parallelogramm multipliziert man diese Formel mit 2. Also hat man <math> F = \vert \vec{AA^*} x \vec{AP} \vert = \vert \left( \begin{array}{c} -2 \\\ -14 \\\ -6 \end{array}\right) x \left( \begin{array}{c} -1 \\\ 1 \\\ -1 \end{array}\right) \vert = \vert \left( \begin{array}{c} 20 \\\ 22 \\\ -58 \end{array}\right) \vert = \sqrt{4248} = 6\sqrt{118} \approx 65,2</math><br> }} | '''mit dem Vektorprodukt:''' In der Merkhilfe findet man die Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks. Für unser Parallelogramm multipliziert man diese Formel mit 2. Also hat man <math> F = \vert \vec{AA^*} x \vec{AP} \vert = \vert \left( \begin{array}{c} -2 \\\ -14 \\\ -6 \end{array}\right) x \left( \begin{array}{c} -1 \\\ 1 \\\ -1 \end{array}\right) \vert = \vert \left( \begin{array}{c} 20 \\\ 22 \\\ -58 \end{array}\right) \vert = \sqrt{4248} = 6\sqrt{118} \approx 65,2</math><br> }} | ||
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+ | S. 155/10 | ||
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+ | {{Lösung versteckt|1=a) Es ist <math>\vec{DD^*}=\left( \begin{array}{c} -8 \\\ 6 \\\ -2 \end{array}\right) = -2\cdot\left( \begin{array}{c} 4 \\\ -3 \\\ 1 \end{array}\right) = \vec{n}</math> (<math>\vec{n}</math> ist der Normalenvektor der Ebene E), also steht der Vektor <math>\vec{DD^*}</math> senkrecht zur Ebene E.<br> | ||
+ | Der Mittelpunkt M der Strecke [DD<sup>*</sup>] erhält man durch seinen Ortsvektor <math> \vec{m} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{d^*} - \vec{d} )= \frac{1}{2} \cdot (\left( \begin{array}{c} 0 \\\ 8 \\\ 4 \end{array}\right) + \left( \begin{array}{c} 8 \\\ 2 \\\ 6 \end{array}\right)) = \frac{1}{2} \cdot \left( \begin{array}{c} 8 \\\ 10 \\\ 10 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\\ 5 \\\ 5 \end{array}\right)</math>, also M(4;5;5) und M liegt wegen 4·4 - 3·4 + 5 -6 = 0 in der Ebene E, also sind die beiden Punkte D und D<sup>*</sup> symmetrisch zur Ebene E. | ||
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+ | Man kann auch den Abstand der beiden Punkte von der Ebene E berechnen. Die HNF der Ebene E ist <math> \frac{4x_1 - 3x_2 + x_3 -6}{\sqrt{26}}=0</math><br> | ||
+ | <math>d(D,E)= \frac{4\cdot 8 - 3\cdot 2 + 6 -6}{\sqrt{26}} = \sqrt{26} </math> und <math>d(D^*,E)=\vert \frac{4\cdot 0 - 3\cdot 8 + 4 -6}{\sqrt{26}} \vert = \vert -\sqrt{26} \vert = \sqrt{26}</math> . Damit liegen D und D<sup>*</sup> auch symmetrisch zur Ebene E. | ||
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Version vom 25. März 2020, 11:00 Uhr
Dieses Thema ist im Buch auf S. 151 ausführlich beschrieben. Lesen Sie bitte diese Seite aufmerksam.
Die Hessesche Normalenform (HNF)
Aufgaben
S. 153/1
a) Die Ebene E hat als HNF .
Der Ursprung O hat den Abstand von der Ebene E .
Man kann die Rechnung auch ohne Betragstriche machen. Ergibt sich ein negatives Ergebnis wie hier nimmt man hiervon den Betrag.
Der Abstand des Punktes P(6;-1;9) von der Ebene E ist
b) Die Ebene E hat als HNF .
Der Ursprung O hat den Abstand von der Ebene E .
Der Punkt P(7;7;2) hat von E den Abstand .
c) Die Ebene E hat als HNF .
Der Ursprung O hat den Abstand von der Ebene E . Der Ursprung liegt in der Ebene E.
Der Punkt P(-1;1;3) hat von E den Abstand .
d) Die Ebene E hat als HNF .
Der Ursprung O hat den Abstand von der Ebene E .
Der Punkt P(4;-1;2) hat von E den Abstand .
O und P liegen jeweils im Abstand 2 in verschiedenen Halbräumen zur Ebene E.
S. 153/2
(1) Wegen steht der Richtungsvektor der Geraden g senkrecht zum Normalenvektor der Ebene E. ist also komplanar zu den Richtungsvektoren der Ebene E.
Die Ebene E hat als HNF .
Für den Stützpunkt A(7;-13;-4) der Gerade g berechnet man , also liegt A nicht in E und g ist echt parallel zu E. Das g echt parallel zu E ist, hat g auch den Abstand 18 zur Ebene E.
Wird g senkrecht auf E projeziert, dann wird in Richtung des Normalenvektors projeziert. Fällt man von A das Lot auf E, dann erhält man den Lotfusspunkt L durch 2(7+2k)-2(-13-2k)-(-4-k)+10=0 und k = -6 und L(-5;-1;2). Damit hat man für g* den Stützpunkt. Ihr Richtungsvektor ist derselbe wie bei g, da er "in E liegt" (ist komplanar zu den Richtungsvektoren von E). Die senkrechte Projektion von g in die Ebene E ist dann .
(2) Analog geht man hier vor.
.
HNF von E: .
k + (7+k) + (-1+k) + 12 = 0 --> k = -6 und L(-6;1;-7)
S. 154/4
Die Ebene E hat HNF .
Für diese Gleichung hat man also einen Normaleneinheitsvektor .
Zu einer zu E parallelen Ebene im Abstand 9 kommt man, wenn man neun mal diesen Normaleneinheitsvektor oder aneinandersetzt.
Deren HNF sind dann oder . (Berechnet man den Abstand des Ursprungs O (liegt in E) von diesen Ebenen kommt jeweils 9 heraus!)
Schreibt man die Ebenengleichungen nur als Normalenform analog der Ebenengleichung für E, dann lauten sie und .
Bei gleichen Objekten (Gerade - Gerade) bzw. (Ebene - Ebene) wird cos zur Winkelberechnung verwendet. Bei ungleichen Objekten (Gerade - Ebene) wird sin zur Winkelberechnung verwendet. |
S. 154/6
a) Gleichsetzen der zwei Geradengleichungen liefert den Schnittpunkt (S(1;-1;0).
Für den Schnittwinkel interessieren nur die Richtungsvektoren der Geraden. Man erhält ihn aus . Es ist .
Ich lasse die Betragsstriche meist weg. Ist das Ergebnis für cos oder sin negativ, dann nimmt man einfach hier den Betrag
und erhält dann den spitzen Winkel.
b) S(0;2;-1) und
c) S(2;2;2) undS. 154/7
a) Setzt man g in E ein, erhält man diese Gleichung 3(1+k) - (-2) - (-k) = 1 und k = -1. S(0;-2;1)
Für den Schnittwinkel interessieren der Richtungsvektor von g und der Normalenvektor der Ebene E. und
S. 154/8
a) Für den Schnittwinkel interessieren die zwei Normalenvektoren der Ebene. und
b)
c)
d) Hier ist es sinnvoll beide Ebenengleichungen in Normalenform zu schreiben;
E1: 5x1 - 6x2 - 2x3 + 3 = 0 und E2: 2x1 + x3 -3 = 0
S. 154/9
a) Man hat die Gleichung
Aus der 1. Koordinatengleichung -3 + k = -1 folgt k = 2.
Für die 2. Koordinatengleichung ergibt sich -3 + 14 = a2, also a2=11.
Für die 3. Koordinatengleichung ergibt sich 1 + 6 = 3, also a3=7.
Also ist A(-1;11;7)
b) X ist ein Punkt auf g und hat dem Ortsvektor . Soll X Lotfusspunkt F des Lotes von P auf g sein, dann steht der Vektor senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden. Also muss sein. Dies führt zur Gleichung
-5 + k + 7(-6 + 7k) + 3(-4+3k) = 0 und -59 + 59k = 0, also k = 1 und F(-2;4;4).
c) Den Spiegelpunkt A* von A bei Punktspiegelung am Zentrum Z = F(-2;4;4) erhält man durch , also A*(-3;-3;1) .
Analog erhält man P*(-6;5;3)
Den Flächeninhalt dieses Parallelogramms kann man nun berechnen.
elementar: Den Flächeninhalt eines Parallelogramms berechnet man mit der Formel A = g·h . Also muss man sich überlegen was ist g und was ist h. Die Punkte A, Z und A* liegen auf der Geraden g.
Man sieht, dass die beiden Dreiecke AA*P und AA*P* das Parallelogramm ergeben. Z = F ist der Lotfusspunkt des Lotes von P auf g, also ist die die Höhe des Dreiecks AA*P und die Grundlinie des Dreiecks . Damit ergbit
S. 155/10
a) Es ist ( ist der Normalenvektor der Ebene E), also steht der Vektor senkrecht zur Ebene E.
Der Mittelpunkt M der Strecke [DD*] erhält man durch seinen Ortsvektor , also M(4;5;5) und M liegt wegen 4·4 - 3·4 + 5 -6 = 0 in der Ebene E, also sind die beiden Punkte D und D* symmetrisch zur Ebene E.
Man kann auch den Abstand der beiden Punkte von der Ebene E berechnen. Die HNF der Ebene E ist
und . Damit liegen D und D* auch symmetrisch zur Ebene E.