Version vom 7. Mai 2015, 17:58 Uhr

Die binomischen Formeln erleichtern einem Termumformungen, sowohl von Summe in Produkt, als auch umgekehrt Produkt in Summe. Eigentlich braucht man sie nicht unbedingt. Wer sich mit dem Rechnen rund um Klammern gut auskennt kommt leicht ohne sie aus. Für alle anderen erleichtern die binomischen Formeln das Umformen und damit das Leben. Sie stellen eine Abkürzung da und wer geht nicht gerne einen leichteren Weg. Man muss sie allerdings einmal lernen.

Die binomischen Formeln

Merke

Die drei binomische Formeln lauten:

1. binomische Formel: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab+b^2$

2. binomische Formel: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab +b^2$

3. binomische Formel: $(a + b ) (a - b) = a^2 - b^2$

Alle drei binomischen Formeln lassen sich durch Termumformung leicht herleiten:

1. binomische Formel: $(a+b)^2 = (a+b)(a+b)=a^2+ab+ba+b^2=a2+2ab+b^2$

2. binomische Formel: $(a-b)^2 = (a-b)(a-b)=a^2-ab-ba+b^2=a2-2ab+b^2$

3. binomische Formel: $(a+b)(a-b) = a^2-ab+ba-b^2=a^2-b^2$

Für das Zahlenrechnen gelten sie natürlich auch, sind aber eher uninteressant. Es ist $(3+4)^2=3^2+2*3*4+4^2=9+24+16=49$ was sich natürlich leichter durch $(3+4)^2=7^2=49$ berechnet.

Kommen Buchstaben vor, dann erleichtern die binomischen Formeln das Leben!

Beispiele

Tipp: Schaut in die binomische Formel und macht euch klar, was a und b ist. Und dann setzt ihr für a und b die Zahlen oder Buchstaben ein. Vergleicht die Formel mit dem was oben steht, dann sollte es klar sein!

zur 1. binomischen Formel: Zuerst verwandeln wir ein Quadrat in eine Summe.
$(2+x)^2 = 4 + 4x +x^2$
$(x+y)^2 = x^2 + 2xy+y^2$
$(2x + 6)^2=4x^2+24x+36$
$(2x + 3y)^2=4x^2+12xy+9y^2$
Natürlich geht es auch umgekehrt.
$x^2 + 2xy + y^2= (x+y)^2$
$4x^2 + 4x + 1= (2x+1)^2$
$4 +24y+36y^2=(2+6y)^2$
$25x^2+36y^2+60xy=(5x+6y)^2$ Zuerst den Term in die richtige Reihenfolge bringen!

zur 2. binomischen Formel: Zuerst verwandeln wir wieder ein Quadrat in eine Summe.
$(2-x)^2 = 4 - 4x +x^2$
$(x-y)^2 = x^2 - 2xy+y^2$
$(2x - 6)^2=4x^2-24x+36$
$(2x - 3y)^2=4x^2-12xy+9y^2$
$(0,5x - 2)^2=0,25x^2-2x-4$
Und nun verwandeln wir eine Summe in ein Quadrat.
$x^2 - 2xy + y^2= (x-y)^2$
$4x^2 - 4x + 1= (2x-1)^2$
$4 -24y+36y^2=(2-6y)^2$
$25x^2+36y^2-60xy=(5x-6y)^2$ Auch hier wieder zuerst den Term in die richtige Reihenfolge bringen!
$0,25x^2-2x-4=(0,5x - 2)^2$

zur 3. binomischen Formel: Zuerst verwandeln wir ein Produkt in eine Differenz.
$(1+x)(1-x)=1^2-x^2=1-x^2$
$(2x+5)(2x-5)=4x^2-25$
$(3a-4b)(3a+4b)=9a^2-16b^2$
Eine Differenz aus Quadraten lässt sich einfach in ein Produkt verwandeln:
$4-x^2=(2+x)(2-x)$
$25x^2-9y^2=(5x+3y)(5x-3y)$
$529x^2 - 169=(23x+13)(23x-13)$
$49a^4-36b^2=(7a^2-6b)(7a^2+6b)$

Das Faktorisieren wird hier nochmals ausführlich erklärt.
Eine häufige Fehlerquelle ist das mittlere Glied.
$4x^2-22xy+36y^2$ lässt sich durch eine binomische Formel nicht in ein Produkt umwandeln! Das gemische Glied müsste $24xy$ lauten, denn es ist $4x^2+24xy+36y^2=(2x+6y)(2x-6y)$ .

Aufgaben

Auf diesen Seiten findest du weitere Aufgaben mit Lösungen:

Klapptests:
1. und 2. binomische Formel - Ausmultiplizieren: Test 1, Test 2, Test 3, [1]
1. und 2. biomische Formel - Faktorisieren: Test 1, Test 2, Test 3, Test 4

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 Die binomischen Formeln erleichtern einem Termumformungen, sowohl von Summe in Produkt, als auch umgekehrt Produkt in Summe. Eigentlich braucht man sie nicht unbedingt. Wer sich mit dem Rechnen rund um Klammern gut auskennt kommt leicht ohne sie aus. Für alle anderen erleichtern die binomischen Formeln das Umformen und damit das Leben. Sie stellen eine Abkürzung da und wer geht nicht gerne einen leichteren Weg. Man muss sie allerdings einmal lernen.
+=Die binomischen Formeln=
 {{Merke|Die drei binomische Formeln lauten:
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 Kommen Buchstaben vor, dann erleichtern die binomischen Formeln das Leben!
-'''Beispiele'''<br>
+=Beispiele=
 '''Tipp:''' Schaut in die binomische Formel und macht euch klar, was a und b ist. Und dann setzt ihr für a und b die Zahlen oder Buchstaben ein. Vergleicht die Formel mit dem was oben steht, dann sollte es klar sein!
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 Das gemische Glied müsste <math>24xy</math> lauten, denn es ist <math>4x^2+24xy+36y^2=(2x+6y)(2x-6y)</math>.
-'''Aufgaben'''
+=Aufgaben=
 Auf diesen Seiten findest du weitere Aufgaben mit Lösungen:
-*http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/binomische-formeln-aufgaben-uebungen-mathematik.html
 *http://www.brinkmann-du.de/mathe/aufgabenportal/p0_binform_01/p0_binform_01.htm
-*http://www.strobl-f.de/ueb710.pdf
+*http://www.strobl-f.de/ueb710.pdf mit Lösungen: http://www.strobl-f.de/lsg710.pdf
+*http://www.realmath.de/Mathematik/Mathepage/binomei.html
+*http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/binomische-formeln-aufgaben-uebungen-mathematik.html
+*http://www.abfrager.de/gymnasium/klasse8/mathematik/binomischeformeln.htm
+Klapptests:<br>
+. und 2. binomische Formel - Ausmultiplizieren: [http://www.zum.de/Faecher/freiarb/niehaves/klapp/bi_kt/bi01_kt1.pdf Test 1], [http://www.zum.de/Faecher/freiarb/niehaves/klapp/bi_kt/bi01_kt2.pdf Test 2], [http://www.zum.de/Faecher/freiarb/niehaves/klapp/bi_kt/bi01_kt3.pdf Test 3], [http://www.zum.de/Faecher/freiarb/niehaves/klapp/bi_kt/bi01_kt4.pdf]<br>
+. und 2. biomische Formel - Faktorisieren: [http://www.zum.de/Faecher/freiarb/niehaves/klapp/bi_kt/bi02_kt1.pdf Test 1], [http://www.zum.de/Faecher/freiarb/niehaves/klapp/bi_kt/bi02_kt2.pdf Test 2], [http://www.zum.de/Faecher/freiarb/niehaves/klapp/bi_kt/bi02_kt3.pdf Test 3], [http://www.zum.de/Faecher/freiarb/niehaves/klapp/bi_kt/bi02_kt4.pdf Test 4]

Binomische Formeln: Unterschied zwischen den Versionen

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