Binomische Formeln: Unterschied zwischen den Versionen

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(Die binomischen Formeln)
(2. binomischen Formel)
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<math>0,25x^2-2x-4=(0,5x - 2)^2</math><br>
 
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Zuerst verwandeln wir ein Produkt in eine Differenz.<br>
 
Zuerst verwandeln wir ein Produkt in eine Differenz.<br>
 
<math>(1+x)(1-x)=1^2-x^2=1-x^2</math><br>
 
<math>(1+x)(1-x)=1^2-x^2=1-x^2</math><br>

Version vom 6. Mai 2016, 10:14 Uhr

Die binomischen Formeln erleichtern einem Termumformungen, sowohl von Summe in Produkt, als auch umgekehrt Produkt in Summe. Eigentlich braucht man sie nicht unbedingt. Wer sich mit dem Rechnen rund um Klammern gut auskennt kommt leicht ohne sie aus. Für alle anderen erleichtern die binomischen Formeln das Umformen und damit das Leben. Sie stellen eine Abkürzung da und wer geht nicht gerne einen leichteren Weg. Man muss sie allerdings einmal lernen.

Inhaltsverzeichnis

Die binomischen Formeln

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Die drei binomische Formeln lauten:

1. binomische Formel: (a + b)^2 = a^2 + 2ab+b^2

2. binomische Formel: (a - b)^2 = a^2 - 2ab +b^2

3. binomische Formel:  (a + b ) (a - b) = a^2 - b^2

Alle drei binomischen Formeln lassen sich durch Termumformung leicht herleiten:

1. binomische Formel: (a+b)^2 = (a+b)(a+b)=a^2+ab+ba+b^2=a^2+2ab+b^2

2. binomische Formel: (a-b)^2 = (a-b)(a-b)=a^2-ab-ba+b^2=a^2-2ab+b^2

3. binomische Formel: (a+b)(a-b) = a^2-ab+ba-b^2=a^2-b^2

Für das Zahlenrechnen gelten sie natürlich auch, sind aber eher uninteressant. Es ist (3+4)^2=3^2+2*3*4+4^2=9+24+16=49 was sich natürlich leichter durch (3+4)^2=7^2=49 berechnet.

Kommen Buchstaben vor, dann erleichtern die binomischen Formeln das Leben!

Beispiele

Tipp: Schaut in die binomische Formel und macht euch klar, was a und b ist. Und dann setzt ihr für a und b die Zahlen oder Buchstaben ein. Vergleicht die Formel mit dem was oben steht, dann sollte es klar sein!

1. binomischen Formel

Zuerst verwandeln wir ein Quadrat in eine Summe.
(2+x)^2 = 4 + 4x +x^2
(x+y)^2 = x^2 + 2xy+y^2
(2x + 6)^2=4x^2+24x+36
(2x + 3y)^2=4x^2+12xy+9y^2
Natürlich geht es auch umgekehrt.
x^2 + 2xy + y^2= (x+y)^2
4x^2 + 4x + 1= (2x+1)^2
4 +24y+36y^2=(2+6y)^2
25x^2+36y^2+60xy=(5x+6y)^2 Zuerst den Term in die richtige Reihenfolge bringen!

2. binomischen Formel

Zuerst verwandeln wir wieder ein Quadrat in eine Summe.
(2-x)^2 = 4 - 4x +x^2
(x-y)^2 = x^2 - 2xy+y^2
(2x - 6)^2=4x^2-24x+36
(2x - 3y)^2=4x^2-12xy+9y^2
(0,5x - 2)^2=0,25x^2-2x-4
Und nun verwandeln wir eine Summe in ein Quadrat.
x^2 - 2xy + y^2= (x-y)^2
4x^2 - 4x + 1= (2x-1)^2
4 -24y+36y^2=(2-6y)^2
25x^2+36y^2-60xy=(5x-6y)^2 Auch hier wieder zuerst den Term in die richtige Reihenfolge bringen!
0,25x^2-2x-4=(0,5x - 2)^2

3. binomischen Formel

Zuerst verwandeln wir ein Produkt in eine Differenz.
(1+x)(1-x)=1^2-x^2=1-x^2
(2x+5)(2x-5)=4x^2-25
(3a-4b)(3a+4b)=9a^2-16b^2
Eine Differenz aus Quadraten lässt sich einfach in ein Produkt verwandeln:
4-x^2=(2+x)(2-x)
25x^2-9y^2=(5x+3y)(5x-3y)
529x^2 - 169=(23x+13)(23x-13)
49a^4-36b^2=(7a^2-6b)(7a^2+6b)

Das Faktorisieren wird hier nochmals ausführlich erklärt.
Eine häufige Fehlerquelle ist das mittlere Glied.
4x^2-22xy+36y^2 lässt sich durch eine binomische Formel nicht in ein Produkt umwandeln! Das gemische Glied müsste 24xy lauten, denn es ist 4x^2-24xy+36y^2=(2x-6y)^2.

Aufgaben

Aufgaben mit Lösungen

Klapptests

1. und 2. binomische Formel - Ausmultiplizieren: Test 1, Test 2, Test 3, [1]
1. und 2. biomische Formel - Faktorisieren: Test 1, Test 2, Test 3, Test 4
3. binomische Formel: Test 1 Verwandle den Term auf der linken Seite mit der 3. binomischen Formel in ein Produkt.