Die Umkehrfunktion: Unterschied zwischen den Versionen

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{{Merke|Man spricht von einer '''Funktion''', wenn jedem Element einer Menge genau ein Element einer anderen Menge zugeordnet wird. }}
 
{{Merke|Man spricht von einer '''Funktion''', wenn jedem Element einer Menge genau ein Element einer anderen Menge zugeordnet wird. }}
  
In unserem Beispiel wird jedem Schüler genau eine Note zugeordnet. Es handelt sich bei dieser Zuordnung um eine Funktion.
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In unserem Beispiel wird jedem Schüler genau eine Note zugeordnet. Es handelt sich bei dieser Zuordnung um eine Funktion. Mehr zum Funktionsbegriff findest du auf [http://wikis.zum.de/medienvielfalt/Funktionen_Einstieg/Der_Funktionsbegriff dieser Seite].
  
{{Aufgabe|Gib nun umgekehrt die Zuordnung an, die jeder Note den Schüler zuordnet, der die Note geschrieben hat. }}
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{{Aufgaben-blau||2=Gib nun umgekehrt die Zuordnung an, die jeder Note den Schüler zuordnet, der die Note geschrieben hat. }}
  
 
{{Lösung versteckt|[[Bild:Funktion_2.jpg]]}}
 
{{Lösung versteckt|[[Bild:Funktion_2.jpg]]}}
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Hier wird jeder Note teils mehrere Schüler zugeordnet. Von einer Note gehen mehrere Pfeile aus. Es handelt sich hier um '''keine''' Funktion!.
 
Hier wird jeder Note teils mehrere Schüler zugeordnet. Von einer Note gehen mehrere Pfeile aus. Es handelt sich hier um '''keine''' Funktion!.
  
Mehr zum Funktionsbegriff findest du auf [http://wikis.zum.de/medienvielfalt/Funktionen_Einstieg/Der_Funktionsbegriff dieser Seite].
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Wir wollen nun untersuchen, wie man zu einer Funktion die Umkehrfunktion findet und welche Probleme man lösen muss, um Mehrdeutigkeiten zu vermeiden, denn dann ist die Umkehrung keine Funktion mehr.
  
=Umkehrfunktion mit der Wertetabelle=
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Wir stellen hierzu Betrachtungen an zur Frage: "Wie erhält man eine Umkehrfunktion? "<br>
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Diese erhält man mit Hilfe
  
{{Aufgabe|Betrachte die Funktion <math>f : x \rightarrow 2x -1</math>. Hier wird jeder Zahl <math>x</math> eine neue Zahl <math>y</math> durch die Gleichung <math>y = 2x - 1</math> zugeordnet. Stelle zuerst eine Wertetabelle auf und danach stelle die Wertetabelle für die Umkehrfunktion auf.}}
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* der [[Umkehrfunktion_Wertetabelle|Wertetabelle]]
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* des [[Umkehrfunktion_Graph|Graphen]]
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* des [[Umkehrfunktion_Term|Terms]]
  
{{Lösung versteckt|
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Weiter gibt es dann
  
Die Funktion: [[Bild:Funktion_3.jpg]]
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* [[Umkehrfunktion_Beispiele|Beispiele]].
  
Die Umkehrfunktion: [[Bild:Funktion_4.jpg]]
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Gibt es immer eine Umkehrfunktion? Dazu muss man auch
  
Ordnet man die Zahlen für y wie üblich mit 1,2,3,... an, so schaut die Tabelle so aus:
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*[[Umkehrfunktion_Definitions-_und_Wertemenge|Definitions- und Wertemenge]]
  
[[Bild:Funktion_5.jpg|30]]}}
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betrachten und sich überlegen, wann die Umkehrung eindeutig ist. Mit dem
  
Vertauscht man nun die Bezeichnungen <math>x</math> und <math>y</math>, dann hat man wieder die Wertetabelle in der bekannten Form:
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* [[Umkehrfunktion_Monotinie|Monotoniekriterium]]  
[[Bild:Funktion_6.jpg|30]]
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=Umkehrfunktion mit dem Graphen=
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gibt es hierzu ein einfaches Mittel.
 
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Mit dem Graph einer Funktion kann man leicht zu einem <math>x</math>-Wert den <math><</math>-Wert bestimmen, indem man z.B. bei <math>x = 2</math> von der x-Achse senkrecht nach oben geht bis man den Graph trifft. In diesem Punkt geht man waagrecht zur y-Achse und bekokmmt den <math>y</math>-Wert. Für das Beispiel ist dann <math>y = 3</math>.
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<center>[[Datei:Funktion_umkf_g_1.jpg]]</center>
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Geht man diesen Weg umgekehrt, also von <math>y</math>-Wert auf der y-Achse (z.B. <math>y = 3</math>) waagrecht bis zum Graph und von diesem Punkt senkrecht nach unten zur x-Achse, dann erhält man den <math>x</math>-Wert. Im Beispiel <math> x = 2</math>.
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<center>[[Datei:Funktion_umkf_g_2.jpg]]</center>
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Jetzt ist nur ungewohnt, dass man von der y-Achse losgeht und über den Graph zur x-Achse kommt. Vertauscht man x- und y-Achse, dann hat man wieder das gewohnte Bild.<br>
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x- und y-Achse kann man durch eine Achsenspiegelung an der Geraden y = x (Winkelhalbierende des I. und III. Quadranten, 1. Mediane) vertauschen. Natürlich wird dann der Graph der Funktion <math>f:x \rightarrow 2x-1</math> auch gespiegelt und man erhält den Graph der Funktion <math>g: x \rightarrow \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}</math>.
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<center>[[Datei:Funktion_umkf_g_3.jpg]]</center>
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{{Aufgabe|Zeichne in den Graphen die Pfeile, die <math>x = 3</math> den <math>y</math>-Wert zuordnen, ein.
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Welchen <math>y</math>-Wert erhältst du?}}
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{{Lösung versteckt|1=
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<center>[[Datei:Funktion_umkf_g_4.jpg]]</center>
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y = 2}}
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{{Merke|So erhältst du den Graphen der Umkehrfunktion
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1. Zeichne den Graphen der Funktion <math>f</math>.
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2. Zeichne die Gerade <math> y = x </math> in das Diagramm.
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3. Spiegele den Graphen der Funktion <math> f</math> an der Geraden <math> y = x</math>. Dies ist der Graph der Umkehrfunktion.}}
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=Umkehrfunktion mit dem Term=
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Beim Graph hast du gesehen, dass beim Bilden des Graphen der Umkehrfunktion wieder eine Gerade entsteht. Aus dem Diagramm kannst du die Geradengleichung ablesen.
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{{Aufgabe|1. Wie vertauscht man x- und y- Achse im Term?
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2. Löse die Gleichung <math>x = 2y -1</math> nach y auf.}}
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{{Lösung versteckt|1. Man vertauscht im Term x und y.
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2. <math>y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}</math>}}
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{{Merke|So findest du den Term der Umkehrfunktion:<br>
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1. Schreibe die Funktionsgleichung auf
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<math> y = 2x - 1</math>
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2. Vertausche x und y
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<math> x = 2y -1</math>
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3. Löse nach y auf
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<math> y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}</math>}}
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Damit erhältst du die Gleichung der Umkehrfunktion. Da diese Funktion sehr eng mit der Funktion <math>f</math> zusammenhängt, schreibt man meist <math> f^{-1}</math> für sie. Damit ist zur Funktion <math>f : x \rightarrow 2x -1</math> die Umkehrfunktion <math>f^{-1}: x \rightarrow \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}</math>.
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=Beispiele=
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=Definitions- und Wertemenge=
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=Monotoniekriterium=
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Aktuelle Version vom 4. März 2021, 17:50 Uhr


In der letzten Mathearbeit haben

Samira und Lukas eine 2, Jonas und Ruby eine 1, Henriette, Franz und Annika eine 3, Bastian und Alida eine 4 und Jessica eine 5.

In einem Pfeildiagramm schaut das so aus:

Funktion 1.jpg

Jedem Schüler wird die Note in der Mathearbeit zugeordnet. Jeder Pfeil endet genau bei einer Note.

Nuvola apps kig.png   Merke

Man spricht von einer Funktion, wenn jedem Element einer Menge genau ein Element einer anderen Menge zugeordnet wird.

In unserem Beispiel wird jedem Schüler genau eine Note zugeordnet. Es handelt sich bei dieser Zuordnung um eine Funktion. Mehr zum Funktionsbegriff findest du auf dieser Seite.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe

Gib nun umgekehrt die Zuordnung an, die jeder Note den Schüler zuordnet, der die Note geschrieben hat.

Funktion 2.jpg

Hier wird jeder Note teils mehrere Schüler zugeordnet. Von einer Note gehen mehrere Pfeile aus. Es handelt sich hier um keine Funktion!.

Wir wollen nun untersuchen, wie man zu einer Funktion die Umkehrfunktion findet und welche Probleme man lösen muss, um Mehrdeutigkeiten zu vermeiden, denn dann ist die Umkehrung keine Funktion mehr.

Wir stellen hierzu Betrachtungen an zur Frage: "Wie erhält man eine Umkehrfunktion? "
Diese erhält man mit Hilfe

Weiter gibt es dann

Gibt es immer eine Umkehrfunktion? Dazu muss man auch

betrachten und sich überlegen, wann die Umkehrung eindeutig ist. Mit dem

gibt es hierzu ein einfaches Mittel.