Die Umkehrfunktion

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In der letzten Mathearbeit haben

Samira und Lukas eine 2, Jonas und Ruby eine 1, Henriette, Franz und Annika eine 3, Bastian und Alida eine 4 und Jessica eine 5.

In einem Pfeildiagramm schaut das so aus:

Funktion 1.jpg

Jedem Schüler wird die Note in der Mathearbeit zugeordnet. Jeder Pfeil endet genau bei einer Note.

Nuvola apps kig.png   Merke

Man spricht von einer Funktion, wenn jedem Element einer Menge genau ein Element einer anderen Menge zugeordnet wird.

In unserem Beispiel wird jedem Schüler genau eine Note zugeordnet. Es handelt sich bei dieser Zuordnung um eine Funktion.

30px   Aufgabe

Gib nun umgekehrt die Zuordnung an, die jeder Note den Schüler zuordnet, der die Note geschrieben hat.

Funktion 2.jpg

Hier wird jeder Note teils mehrere Schüler zugeordnet. Von einer Note gehen mehrere Pfeile aus. Es handelt sich hier um keine Funktion!.

Mehr zum Funktionsbegriff findest du auf dieser Seite.

Umkehrfunktion mit der Wertetabelle

30px   Aufgabe

Betrachte die Funktion f : x \rightarrow 2x -1. Hier wird jeder Zahl x eine neue Zahl y durch die Gleichung y = 2x - 1 zugeordnet. Stelle zuerst eine Wertetabelle auf und danach stelle die Wertetabelle für die Umkehrfunktion auf.


Die Funktion: Funktion 3.jpg

Die Umkehrfunktion: Funktion 4.jpg

Ordnet man die Zahlen für y wie üblich mit 1,2,3,... an, so schaut die Tabelle so aus:

30

Vertauscht man nun die Bezeichnungen x und y, dann hat man wieder die Wertetabelle in der bekannten Form: 30

Umkehrfunktion mit dem Graphen

Mit dem Graph einer Funktion kann man leicht zu einem x-Wert den <-Wert bestimmen, indem man z.B. bei x = 2 von der x-Achse senkrecht nach oben geht bis man den Graph trifft. In diesem Punkt geht man waagrecht zur y-Achse und bekokmmt den y-Wert. Für das Beispiel ist dann y = 3.

Funktion umkf g 1.jpg

Geht man diesen Weg umgekehrt, also von y-Wert auf der y-Achse (z.B. y = 3) waagrecht bis zum Graph und von diesem Punkt senkrecht nach unten zur x-Achse, dann erhält man den x-Wert. Im Beispiel  x = 2.

Funktion umkf g 2.jpg

Jetzt ist nur ungewohnt, dass man von der y-Achse losgeht und über den Graph zur x-Achse kommt. Vertauscht man x- und y-Achse, dann hat man wieder das gewohnte Bild.
x- und y-Achse kann man durch eine Achsenspiegelung an der Geraden y = x (Winkelhalbierende des I. und III. Quadranten, 1. Mediane) vertauschen. Natürlich wird dann der Graph der Funktion f:x \rightarrow 2x-1 auch gespiegelt und man erhält den Graph der Funktion g: x \rightarrow \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}.

Funktion umkf g 3.jpg
30px   Aufgabe

Zeichne in den Graphen die Pfeile, die x = 2 den y-Wert zuordnet, ein.

Welchen y-Wert erhältst du?

Funktion umkf g 4.jpg

y = 2

Umkehrfunktion mit dem Term

Beim Graph hast du gesehen, dass beim Bilden des Graphen der Umkehrfunktion wieder eine Gerade entsteht. Aus dem Diagramm kannst du die Geradengleichung ablesen.

30px   Aufgabe

1. Wie vertauscht man x- und y- Achse im Term?

2. Löse die Gleichung x = 2y -1 nach y auf.

1. Man vertauscht im Term x und y.

2. y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}
Nuvola apps kig.png   Merke

So findest du den Term der Umkehrfunktion:
1. Schreibe die Funktionsgleichung auf

 y = 2x - 1

2. Vertausche x und y

 x = 2y -1

3. Löse nach y auf

 y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}

Damit erhältst du die Gleichung der Umkehrfunktion. Da diese Funktion sehr eng mit der Funktion f zusammenhängt, schreibt man meist  f^{-1} für sie. Damit ist zur Funktion f : x \rightarrow 2x -1 die Umkehrfunktion f^{-1}: x \rightarrow \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}.


Beispiele

Monotoniekriterium