Logarithmische Spiralen: Unterschied zwischen den Versionen

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Der '''Nautilus''' ist der letzte Repräsentant einer großen Tiergruppe, die seit dem Erdaltertum die Meere der Erde bevölkerte. Zu dieser Tiergruppe gehörten auch die '''Ammoniten''' der Jura und Kreidezeit  und '''Ceratiten''' der Muschelkalkzeit oder wesentlich ältere '''Goniatiten''' <br>
 
Der '''Nautilus''' ist der letzte Repräsentant einer großen Tiergruppe, die seit dem Erdaltertum die Meere der Erde bevölkerte. Zu dieser Tiergruppe gehörten auch die '''Ammoniten''' der Jura und Kreidezeit  und '''Ceratiten''' der Muschelkalkzeit oder wesentlich ältere '''Goniatiten''' <br>
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Das spiralförmige Gehäuse besteht aus verschiedenen Kammern, die jeweils letzte die eigentliche Wohnkammer des Tieres. Ein Gewebestrang, über den Gasaustauch/Wasseraustausch  betrieben wird, zieht sich von der Wohnkammer durch die anderen Kammern. Mittels dieses kann der Cephalopode Steigen oder Sinken aber auch rotationsförmige Bewegungen ausführen. Die Scheidewände zwischen den Kammern sind u. a. Unterscheidungsmerkmale einzelner Arten.
 
Das spiralförmige Gehäuse besteht aus verschiedenen Kammern, die jeweils letzte die eigentliche Wohnkammer des Tieres. Ein Gewebestrang, über den Gasaustauch/Wasseraustausch  betrieben wird, zieht sich von der Wohnkammer durch die anderen Kammern. Mittels dieses kann der Cephalopode Steigen oder Sinken aber auch rotationsförmige Bewegungen ausführen. Die Scheidewände zwischen den Kammern sind u. a. Unterscheidungsmerkmale einzelner Arten.
  
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==Exponentielles Wachstum==
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1. Beschreibe den Einfluss der einzelnen Parameter a, b, c und d. (Probieren)<br>
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2. Warum gilt: Die Basis der Exponentialfunktion muss größer 0 und ungleich 1 sein? (Probieren). Was ergibt sich für ein Funktionentyp für b gleich 1? <br>
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3. Beschreibe mit Worten am Beispiel eines Graphen, was man unter exponentieller Zunahme/Abnahme versteht bzw. woran man dieses erkennt!Q
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4. Weitere Grundlagen: [[http://wikis.zum.de/rsg/Grundlegende_Kenntnisse_in_Mathematik#Funktionen]]
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1. Der Parameter a streckt oder staucht den Graph der Funktion in y-Richtung um den Faktor Betrag(a). Ist a kleiner 0, so wird der Graph zusätzlich an der Gerade, die zur y-Achse ist und den Abstand c besitzt, gespiegelt. <br>
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Für b größer 1 steigt der Graph,  für b kleiner 1 fällt der Graph.  Der Pameter b bestimmt wie schnell/fällt der Graph ansteigt. der Graph für b gleich b1 und b gleich  1/b1 , so wird zusätzlich der y-Achse gespiegelt. <br>
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Der Parameter c verschiebt den Graphen in x-Richtung, für c größer 0 nach rechts. <br>
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Der Parameter d verschiebt den Graphen in y-Richtung, für d größer 0 nach oben.
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2. Da für negative nicht ganzzahlige Exponenten der Wert nicht definiert ist bzw. für bgleich für negatives x nicht definiert ist. Für b gleich 1 ergibt sich eine Gerade parallel zur y-achse eube lineare Funktion.<br>
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3. In konstanten x-Abständen wächst bzw. Fällt.  der Funktionswert jeweils um einen konstanten Faktor
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==Exponentielles Wachstum beim Nautilus ==
 
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Vergleiche nun das Ergebnis mit dem Bild des größten Ammoniten!
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Vergleiche nun das Ergebnis mit dem Bild des größten Ammoniten: [http://www.medienwerkstatt-online.de/lws_wissen/vorlagen/showcard.php?id=13285&edit=0 Fossil des Jahres 2008]<br><br>
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{{Aufgabe|Gib zwei Gleichungen an, wie man aus den Angaben für r und alpha  die kartesischen Koordinaten  
 
{{Aufgabe|Gib zwei Gleichungen an, wie man aus den Angaben für r und alpha  die kartesischen Koordinaten  
 
x  und y  des Punkes P in obiger Skizze berechnen kann. }}
 
x  und y  des Punkes P in obiger Skizze berechnen kann. }}
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Zur Bedeutung der logarithmischen Spirale:<br>
 
Zur Bedeutung der logarithmischen Spirale:<br>
  
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1. Verändere bei gleichem Wachstumsfaktor den Parameter für den Punkt P<br>
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2. Verändere den Wachstumsfaktor bei konstantem Parameter
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3. Was stellst Du fest? }}
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4. Welche Bedeutung könnte diese Eigenschaft der logarithmischen Spirale für das Gehäuse haben? }}
  
 
{{Lösung versteckt|}}
 
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*[http://www.mathematische-basteleien.de/spirale.htm Räumliche Spiralen]
  
 
==Ausblick==
 
==Ausblick==
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Durch Veränderung verschiedener Parameter sind aber auch die Schalen anderer Mollusken erzeugbar. Das ist ein Algorithmus, der Einblicke in mögliche Entwicklungen in der Evolution gibt. Dies wurde wohlweislich schon im 19. Jahrhundert erkannt.  
 
Durch Veränderung verschiedener Parameter sind aber auch die Schalen anderer Mollusken erzeugbar. Das ist ein Algorithmus, der Einblicke in mögliche Entwicklungen in der Evolution gibt. Dies wurde wohlweislich schon im 19. Jahrhundert erkannt.  
 
[[Datei:Mollusca1.jpg]]
 
[[Datei:Mollusca1.jpg]]
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*[http://algorithmicbotany.org/papers/shells.sig92.pdf Botanische Betrachtungen 1]
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*[http://palaeontology.palass-pubs.org/pdf/Vol%2012/Pages%2048-55.pdf Botanische Betrachtungen 2]
  
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*[http://3d-xplormath.org/j/applets/de/vmm-surface-parametric-SnailShell.html 3D-Explorer Snail-Shell]
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*[http://3d-xplormath.org/j/applets/de/vmm-surface-parametric-SnailShell.html 3D-Explorer Snail-Shell] Hier kannst Du selbst experimentieren!
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*[http://virtualmathmuseum.org/Surface/snailshell/snailshell.html Virtuelles Museum of Snail Shell]
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* Ein Video zur kontinuierlichen Deformation räumlicher Molluskengehäuse
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[[Datei:Mollusca2.jpg]]
 
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==Die Logarithmische Spirale in anderen Objekten ==
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[[File:Romanesco Brassica oleracea Richard Bartz Hierarchic Cabbage Award.jpg | 400px]]<br>
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[[File:Mandel zoom 11 satellite double spiral.jpg | 400px]]<br>
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1. Untersuche, ob bei den obigen Abbildungen eine logarithmische Spirale vorliegt!<br>
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2. Findest Du weitere Beispiele aus der Natur, wo räumliche oder ebene Spiralen vorliegen? Untersuche, ob es sich um logarithmische Spiralen handelt.  }}
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{{Lösung versteckt|}}
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==Weiterführende Betrachtungen - Klasse 11==
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=== Kontinuierliches Wachstum - Hinführung zu der Basis e ===
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Betrachtet man beispielsweise die Funktion 2^t, so stellt man fest, dass sich die y-Werte bei Intervallabständen von 1 LE verdoppeln, bei Intervallabständen von 2 LE vervierfachen ... Je nach betrachtetem Intervallabstand beträgt der '''Wachstumsfaktor''' 2 bzw. 4 ...
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In der Natur läuft Wachstum jedoch nicht in Intervallen, sondern findet kontinuierlich statt und zwar in Abhängigkeit von der Zeit t. Dies kann man durch beliebig kleine Intervalle approximieren. Die Approximation durch n äquidistante Intervalle der Breite (1+1/n)liefert eine Approximation der Funktion 2^t. In der folgenden Geobebradatei kann man diese Approximation simulieren. <br>
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<ggb_applet height="800" width="1000" filename="e.ggb" /><br>
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Beurteile die Approximation für verschiedene n. Was stellst Du fest? Beobachte auch das Algebrafenster!}}
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Die Approximation der Funktion ist bei kleiner Anzahl von Intervallen schlecht, bei gößerem n wird die Approximation besser.
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Einer der Parameter im Algebrafenster nähert sich dem Wert 2,71...
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Da in der Natur kontinuerliche Wachstumsvorgänge stattfinden - siehe auch das folgende Kapitel-, die zur Basis e ausgedrückt werden besitzt die Funktion e^t und ihre Umkehrfunktion ln t eine besondere Bedeutung. Die Abkürzung ln kommt vonLogarithmus naturalis.
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=== Betrachtungen zur Frage inwieweit die Infinitesimalrechnung auf zeitliche Vorgänge angewendet werden kann ===
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Die Entdeckung, dass die Objekte in der Natur aus den (ursprünglich) als kleinste Teilchen bezeichneten Atomen besteht und obwohl man in der zwischenzeit einen ganzen "Zoo" von Bausteinen der Atome kennt, glaubt man in der Physik noch immer an "kleinste" Teilchen. Man diskutiert(e) auch, ob die Zeit ein Kontinuum ist oder in kleinsten Einheiten abläuft. <br>
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Da wir in der Analysis aber mit Grenzwertprozessen arbeiten und dabei jede noch so kleine vorgegebene Zahl gehen, als beispielsweise bei Längen bzw. Zeiteinheiten, stellt sich die Frage, inwieweit die Infinitesimalrechnung anwendbar ist auf in der Natur ablaufende Prozesse.
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Darauf kann und soll hier nur kurz eingegangen Werten:
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Innerhalb gewisser Grenzen (Wertebereiche von Längen, Zeit, ...) lassen sich reale Vorgänge hinreichend genau approximieren und mathematisch beschreiben. Für über diesen "makroskopischen Bereich" hinausgehende "mikroskopischen Bereich" braucht man vielleicht andere mathematische Modelle. Ein Beispiel sei die nichteuklidische Geometrie, die für die mathematische Beschreibung in der Relativitätstheorie Einsteins notwendig wurde.
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'''Einige Literaturhinweise :'''<br>
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'''Neuere Literatur:'''''
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{{#ev:youtube |ygB4GkZOH3Y|400}}<br>
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Professor Stephen Hawking - Physiker [http://de.wikipedia.org/wiki/Stephen_Hawking Zur Person Stephen Hawking]
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[http://www.hawking.org.uk/ Stephen Hawings Homapage mit Literatur]
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'''''Ältere Literatur:''''' - aber lesenswert:
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*[http://books.google.de/books?id=nt0uPAAACAAJ&dq=Pascual+Jordan+religi%C3%B6se&hl=de&sa=X&ei=DCtqT83fGdHmtQas0O2GAg&ved=0CDMQ6AEwAA Pascual Jordan: Der Naturwissenschaftler vor der religiösen Frage][http://de.wikipedia.org/wiki/Pascual_Jordan Zur Person Pascal Jordan]
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*[http://books.google.de/books?id=RTZ_AAAACAAJ&dq=Werner+Heisenberg+der+Teil&hl=de&sa=X&ei=qytqT9vtNYPysgbc9fiVAg&ved=0CDQQ6AEwAA Werner Heisenberg: Der Teil und das Ganze: Gespräche im Umkreis der Atomphysik]
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[http://de.wikipedia.org/wiki/Heisenberg Zur Person Werner Heisenberg]
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*[http://books.google.de/books?id=GDYOqAAACAAJ&dq=Asimov+Wege+und+Irrwege&hl=de&sa=X&ei=OixqT62FK87Esgb41tjGAg&ved=0CDUQ6AEwAA Issak Asimov - Wege und Irrwege der Naturwissenschaft]
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*[http://books.google.de/books?id=WVrVnn1NGSQC&dq=Max+Born+Die+Relativit%C3%A4tstheorie&hl=de&sa=X&ei=xixqT8vJJ4jMswawouGpAg&ved=0CDgQ6AEwAA Max Born: Die Relativitätstheorie Einsteins][http://de.wikipedia.org/wiki/Max_Born Zur Person Max Born]
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*[http://books.google.de/books?id=QjwLAQAAIAAJ&q=Carnap+Philosophie+Naturwissenschaft&dq=Carnap+Philosophie+Naturwissenschaft&hl=de&sa=X&ei=eS1qT7HgC4vitQaPs8XQ Rudolf Carnap: Einführung in die Philosophie der Naturwissenschaft]
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[http://de.wikipedia.org/wiki/Rudolf_Carnap Zur Person Rudolf Carnap]
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*[http://books.google.de/books?id=v2CFOwAACAAJ&dq=Barthelemy-Madaule&hl=de&sa=X&ei=2TFqT5CEH47VsgbVl82GAg&ved=0CDIQ6AEwAA Barthélemy-Madaule Bergson und Teilhard - Anfänge einer neuen Welterkenntnis][http://de.wikipedia.org/wiki/Pierre_Teilhard_de_Chardin Zur Person Teilhard de Chardin][http://de.wikipedia.org/wiki/Henri_Bergson Zur Person Henri Bergson]
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=== Fibonacci-Zahlen===
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=== Der Goldene Schnitt===
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[[Bild:Weiter.gif]][[Dodekaeder_und_Goldener_Schnitt]]
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=== Anwendungen der e-Funktion ===
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==== Liebstöckel ====
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[[File:Levisticum officinale - Köhler–s Medizinal-Pflanzen-217.jpg |200px]][[File:Liebstöckel.JPG |200px]]
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*[http://de.wikipedia.org/wiki/Liebst%C3%B6ckel Beschreibung und Verwendung]
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Zur Aufgabe in delta11 S. 154 A 20
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Veranschulichung des Wachstums von Pflanzen der maximalen Höhe h= 180 [cm]in Abhängigkeit der Paramer a und k
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<ggb_applet height="800" width="1000" filename="Liebstöckel.ggb" /><br>

Aktuelle Version vom 12. April 2014, 14:57 Uhr

Mathematik ist das Alphabet, mit dessen Hilfe Gott das Universum beschrieben hat..[Galileo Galilei]

Inhaltsverzeichnis

Einführung

Nautilus pompilius

Der Nautilus ist der letzte Repräsentant einer großen Tiergruppe, die seit dem Erdaltertum die Meere der Erde bevölkerte. Zu dieser Tiergruppe gehörten auch die Ammoniten der Jura und Kreidezeit und Ceratiten der Muschelkalkzeit oder wesentlich ältere Goniatiten














Besonders die Gehäuse dieser ektocochleaten (außenhäusige Cephalopoden) Tiere im Gegensatz zu den endocochleaten (innenhäusige Cephalopoden), zu denen die Belemniten der Jurazeit oder die noch heute vertretenen Kalmare, sind faszinierend.

Nautilus pompilius

Das spiralförmige Gehäuse besteht aus verschiedenen Kammern, die jeweils letzte die eigentliche Wohnkammer des Tieres. Ein Gewebestrang, über den Gasaustauch/Wasseraustausch betrieben wird, zieht sich von der Wohnkammer durch die anderen Kammern. Mittels dieses kann der Cephalopode Steigen oder Sinken aber auch rotationsförmige Bewegungen ausführen. Die Scheidewände zwischen den Kammern sind u. a. Unterscheidungsmerkmale einzelner Arten.

Wiederholung:



30px   Aufgabe

1. Beschreibe den Einfluss der einzelnen Parameter a, b, c und d. (Probieren)
2. Warum gilt: Die Basis der Exponentialfunktion muss größer 0 und ungleich 1 sein? (Probieren). Was ergibt sich für ein Funktionentyp für b gleich 1?
3. Beschreibe mit Worten am Beispiel eines Graphen, was man unter exponentieller Zunahme/Abnahme versteht bzw. woran man dieses erkennt!Q 4. Weitere Grundlagen: [[1]]

1. Der Parameter a streckt oder staucht den Graph der Funktion in y-Richtung um den Faktor Betrag(a). Ist a kleiner 0, so wird der Graph zusätzlich an der Gerade, die zur y-Achse ist und den Abstand c besitzt, gespiegelt.
Für b größer 1 steigt der Graph, für b kleiner 1 fällt der Graph. Der Pameter b bestimmt wie schnell/fällt der Graph ansteigt. der Graph für b gleich b1 und b gleich 1/b1 , so wird zusätzlich der y-Achse gespiegelt.
Der Parameter c verschiebt den Graphen in x-Richtung, für c größer 0 nach rechts.
Der Parameter d verschiebt den Graphen in y-Richtung, für d größer 0 nach oben. 2. Da für negative nicht ganzzahlige Exponenten der Wert nicht definiert ist bzw. für bgleich für negatives x nicht definiert ist. Für b gleich 1 ergibt sich eine Gerade parallel zur y-achse eube lineare Funktion.

3. In konstanten x-Abständen wächst bzw. Fällt. der Funktionswert jeweils um einen konstanten Faktor

Exponentielles Wachstum beim Nautilus

Nautilusk.jpg

Das Gehäuse eines Nautilus (ein sogenanntes lebendes Fossil) wird vermessen. Man misst vom Zentrum aus den Winkel und den Radius zum Außenrand der spiralförmigen Windungen.

Die Messergebnisse sind in folgender Tabelle dargestellt:

Logtag1.jpg

30px   Aufgabe

Weise nach, dass der Radius exponentiell wächst und stelle davon ausgehend eine Gleichung für den Radius in Abhängigkeit von alpha auf und berechne die fehlenden Radien in obiger Tabelle.

30px   Aufgabe

Der größte je gefundene „Verwandte“ von Nautilus hatte einen maximalen Radius von ca. 90 cm. Wieviel Windungen muss das Gehäuse besitzen, wenn es der Gleichung

r = 10^{a \cdot 0.0009655}


genügt.

Vergleiche nun das Ergebnis mit dem Bild des größten Ammoniten: Fossil des Jahres 2008

30px   Aufgabe

Gib zwei Gleichungen an, wie man aus den Angaben für r und alpha die kartesischen Koordinaten x und y des Punkes P in obiger Skizze berechnen kann.

Das Ergebnis in Geogebra:

Nautilusks.jpg

Zur Bedeutung der logarithmischen Spirale:

[ www.geogebratube.org is not an authorized iframe site ]


30px   Aufgabe


1. Verändere bei gleichem Wachstumsfaktor den Parameter für den Punkt P
2. Verändere den Wachstumsfaktor bei konstantem Parameter 3. Was stellst Du fest? 4. Welche Bedeutung könnte diese Eigenschaft der logarithmischen Spirale für das Gehäuse haben?

Ausblick

Man kann die Gehäuse vom Nautilus auch in dreidimensionaler Darstellung erzeugen. Eine Vorstellung davon liefert der 3-D-Explorer des Mathe-Sticks unter parametrisierte Kurven. Durch Veränderung verschiedener Parameter sind aber auch die Schalen anderer Mollusken erzeugbar. Das ist ein Algorithmus, der Einblicke in mögliche Entwicklungen in der Evolution gibt. Dies wurde wohlweislich schon im 19. Jahrhundert erkannt. Mollusca1.jpg

  • Ein Video zur kontinuierlichen Deformation räumlicher Molluskengehäuse

Mollusca2.jpg

Echinoidea anatomie.svgSeeigel Micraster 31.jpg

Die Logarithmische Spirale in anderen Objekten

Romanesco Brassica oleracea Richard Bartz Hierarchic Cabbage Award.jpg

Mandel zoom 11 satellite double spiral.jpg

Low pressure system over Iceland.jpg

30px   Aufgabe

1. Untersuche, ob bei den obigen Abbildungen eine logarithmische Spirale vorliegt!
2. Findest Du weitere Beispiele aus der Natur, wo räumliche oder ebene Spiralen vorliegen? Untersuche, ob es sich um logarithmische Spiralen handelt.


Weiterführende Betrachtungen - Klasse 11

Kontinuierliches Wachstum - Hinführung zu der Basis e

Betrachtet man beispielsweise die Funktion 2^t, so stellt man fest, dass sich die y-Werte bei Intervallabständen von 1 LE verdoppeln, bei Intervallabständen von 2 LE vervierfachen ... Je nach betrachtetem Intervallabstand beträgt der Wachstumsfaktor 2 bzw. 4 ... In der Natur läuft Wachstum jedoch nicht in Intervallen, sondern findet kontinuierlich statt und zwar in Abhängigkeit von der Zeit t. Dies kann man durch beliebig kleine Intervalle approximieren. Die Approximation durch n äquidistante Intervalle der Breite (1+1/n)liefert eine Approximation der Funktion 2^t. In der folgenden Geobebradatei kann man diese Approximation simulieren.



30px   Aufgabe

Beurteile die Approximation für verschiedene n. Was stellst Du fest? Beobachte auch das Algebrafenster!

Die Approximation der Funktion ist bei kleiner Anzahl von Intervallen schlecht, bei gößerem n wird die Approximation besser. Einer der Parameter im Algebrafenster nähert sich dem Wert 2,71...

Da in der Natur kontinuerliche Wachstumsvorgänge stattfinden - siehe auch das folgende Kapitel-, die zur Basis e ausgedrückt werden besitzt die Funktion e^t und ihre Umkehrfunktion ln t eine besondere Bedeutung. Die Abkürzung ln kommt vonLogarithmus naturalis.

Betrachtungen zur Frage inwieweit die Infinitesimalrechnung auf zeitliche Vorgänge angewendet werden kann

Die Entdeckung, dass die Objekte in der Natur aus den (ursprünglich) als kleinste Teilchen bezeichneten Atomen besteht und obwohl man in der zwischenzeit einen ganzen "Zoo" von Bausteinen der Atome kennt, glaubt man in der Physik noch immer an "kleinste" Teilchen. Man diskutiert(e) auch, ob die Zeit ein Kontinuum ist oder in kleinsten Einheiten abläuft.

Da wir in der Analysis aber mit Grenzwertprozessen arbeiten und dabei jede noch so kleine vorgegebene Zahl gehen, als beispielsweise bei Längen bzw. Zeiteinheiten, stellt sich die Frage, inwieweit die Infinitesimalrechnung anwendbar ist auf in der Natur ablaufende Prozesse.

Darauf kann und soll hier nur kurz eingegangen Werten:

Innerhalb gewisser Grenzen (Wertebereiche von Längen, Zeit, ...) lassen sich reale Vorgänge hinreichend genau approximieren und mathematisch beschreiben. Für über diesen "makroskopischen Bereich" hinausgehende "mikroskopischen Bereich" braucht man vielleicht andere mathematische Modelle. Ein Beispiel sei die nichteuklidische Geometrie, die für die mathematische Beschreibung in der Relativitätstheorie Einsteins notwendig wurde.

Einige Literaturhinweise :
Neuere Literatur:



Professor Stephen Hawking - Physiker Zur Person Stephen Hawking Stephen Hawings Homapage mit Literatur

Ältere Literatur: - aber lesenswert:


Zur Person Werner Heisenberg


Zur Person Rudolf Carnap

Fibonacci-Zahlen

Der Goldene Schnitt

Weiter.gifDodekaeder_und_Goldener_Schnitt

Anwendungen der e-Funktion

Liebstöckel

Levisticum officinale - Köhler–s Medizinal-Pflanzen-217.jpgLiebstöckel.JPG

Zur Aufgabe in delta11 S. 154 A 20 Veranschulichung des Wachstums von Pflanzen der maximalen Höhe h= 180 [cm]in Abhängigkeit der Paramer a und k


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