M10 Der Logarithmus

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Die Gleichung 2^x = 4 ist ganz leicht zu lösen. Man erhält  x = 2. Dies geht immer gut, wenn der Wert auf der rechten Seite eine Potenz der Basis ist, also
2^x = 1024 hat die Lösung  x = 10,
5^x = 625 hat die Lösung  x = 4,
3^x = 243 hat die Lösung  x = 5.

Doch was macht man, wenn die Gleichung 2^x = 5 lautet?

Man hatte schon einmal ein ähnliches Problem. Die Gleichung x^2 = 4 hat die Lösungen x_1 = -2 und x_2=2. Für die Gleichung x^2 = 5 hat man dann neue Zahlen eingeführt, die Wurzeln, und die Gleichung hatte die Lösungen x_1 = -\sqrt 5, x_2 = \sqrt 5.

Für die Gleichung 2^x = 5 muss man, um eine Lösung zu haben, neue Zahlen einführen, die Logarithmen bzw. den Logarithmus.


Maehnrot.jpg
Merke:

Die Gleichung a^x = p mit a \in R+ und p > 0 hat die Lösung x = log_a (p).

Man spricht für x = log_a (p): "x ist der Logarithmus von p zur Basis a"

Log.jpg


Beispiele: 2^x = 4 hat die Lösung x = log_2(4) = 2
3^x = 243 hat die Lösung  x = =log_3(243)=5
10^x = 5 hat die Lösung  x = log_{10}(5)
2^x = 19 hat die Lösung x = log_2[18)


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

1. Schreibe den Exponenten als Logarithmus
a) 2^3 = 8
b) 5^4 = 625
c) 2^{-3} = \frac{1}{8}
d) 7^0 = 1
e) 10^{-2}=0,01
f) 100^{\frac{1}{2}}=10

2. Schreibe die Logarithmusgleichung als Exponentialgleichung
a) log_3(9) = 2
b) log_4(16) = 2
c) log_4(\frac{1}{16}) = -2
d) log_8(0,125) = -1
e) log_3(\frac{1}{81})= -4

1a) 3 = log_2(8)
b) 4 = log_5(625)
c) -3 = log_2(\frac{1}{8})
d) 0 = log_7(1)
e) -2 = log_{10}(0,1)
f) \frac{1}{2}=log_{100}(10)

2a) 3^2 = 9
b) 4^2 = 16
c) 4^{-2}=\frac{1}{16}
d) 8^{-1}=0,125

e) 3^{-4}=\frac{1}{81}
Maehnrot.jpg
Merke:

Es ist log_a(a) = 1

log_a(a^r) = r

log_a(1) = 0


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 2

1. Beerechne ohne TR
a) log232
b) log21024
c) log3243
d) log77
e) log1010000
f) log101
g) log20,5
h) log2\frac{1}{8}
i) log20,25
k) log50,2
l) log50,04
m) log50,008
n) log100,1
o) log0,110
p) log0,11000
q) log0,10,01
r) log0,11
s) log0,5\frac{1}{4}
t) log0,5\frac{1}{2}
u) log0,52
v) log2,56,25
w) log2,51
x) log2,50,4
y) log2,50,16

2. Berechne ohne TR
a) log_7(\sqrt 7)
b) log_4(2)
c) log_2(\sqrt[3]2)
d) log_{27}(3)
e) log_{32}(2)
f) log_5(\sqrt[3]{25})
g) log_3(\sqrt{27})
h) log_2(2\sqrt 2)
i) log_2(8\sqrt 8)
k) log_{100}(10)
l) log_{100}(1000)
m) log_{100}(0,001)
n) log_{\sqrt 3}(3)
o) log_{\sqrt 6}(\frac{1}{6})
p) log_{\sqrt 2}(2^{-3})
q) log_{\sqrt 7}(1)


Tipp: Stelle die passende Exponentialgleichung auf!
Für log2(32) lautet die Exponentialgleichung 2^x = 32, also x = 5

Stelle eventuell die passende Exponentialgleichung auf!
Für log2(32) lautet die Exponentialgleichung 2^x = 32, also x = 5

1a) 5; b) 10; c) 5; d) 1; e) 4; f) 0; g) -1; h) -3; i) -2; k) -1; l) -2; m) -3
n) -1; o) -1; p) -3; q) 2; r) 0; s) 2; t) 1; u) -1; v) 2; w) 0; x) -1; y) -2

2a) 0,5; b) 0,5; c) \frac{1}{3}; d) \frac{1}{3}; e) \frac{1}{5}; f) \frac{2}{3}; g) \frac{3}{2}; h) \frac{3}{2};;

i) \frac{9}{2}; k) 0,5; l) \frac{3}{2}; m) -\frac{3}{2}; o) 2; p) -6; q) 0


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 3

Logarithmiere
a) log_a(a^3)
b) log_a(a^5)
c) log_a(1)
d) log_a(\frac{1}{a^2})
e) log_a(\frac{1}{a})
f) log_a(a)
g) log_a(\sqrt a)
h) log_a(\sqrt[5]{a})
i) log_a(\sqrt[4]{a^3})
k) log_a(\frac{1}{\sqrt a})

a) log_a(a^3)= 3
b) log_a(a^5)= 5
c) log_a(1)= 0
d) log_a(\frac{1}{a^2})= -2
e) log_a(\frac{1}{a})= -1
f) log_a(a)=1
g) log_a(\sqrt a)=\frac{1}{2}
h) log_a(\sqrt[5]{a})=\frac{1}{5}
i) log_a(\sqrt[4]{a^3})=\frac{3}{4}

k) log_a(\frac{1}{\sqrt a})=-\frac{1}{2}


Maehnrot.jpg
Merke:

Rechengesetze des Logarithmus

Logarithmus eines Produkts: log_a(p\cdot q) = log_a(p) + log_a(q)

Logarithmus eines Quotienten: log_a(\frac{p}{q})=log_a(p) - log_a(q)

Logarithmus einer Potenz: log_a(p^r) = r\cdot log_a(p)


Zur Begründung der Rechenregeln:
Man geht bei den Begründungen auf die Definition des Logarithmus zurück und macht dann entsprechende Umformungen bei den Exponentialgleichungen. Das Ergebnis erhält man, wenn man die Exponenten vergleicht.
1. log_a(p\cdot q) = log_a(p) + log_a(q) erhält man durch folgende Überlegung:
p = b^x und q = b^y. Dann ist p\cdot q = b^x \cdot b^y = b^{x+y}, also x + y = log_b(p\cdot q).
Da x = log_b (p) und y = log_b(q) ist erhält man log_b(p)+log_b(q)=x+y=log_b(p\cdot q).

2. log_a(\frac{p}{q}) = log_a(p) - log_a(q) erhält man durch folgende Überlegung:
p = b^x und q = b^y. Dann ist p : q = b^x : b^y = b^{x-y}, also x - y = log_b(p : q).
Da x = log_b (p) und y = log_b(q) ist erhält man log_b(p)-log_b(q)=x-y=log_b(p: q)=\log_b(\frac{p}{q}).

3. Es ist a^{log_a(p^r)} = p^r = (a^{log_a(p)})^r=a^{r\cdot log_a(p)}. Zwei Potenzen mit gleicher Basis haben denselben Wert, wenn auch ihre Exponenten gleich sind, also log_a(p^r) = r\cdot log_a(p).

Beispiele:1. log_3(9a^4)=log_3(9)+log_3(a^4)=log_3(3^2)-4\cdot log_3(a) = 2 + 4log_3(a)

2. log_{10}(1000\cdot\sqrt[5]{a^2}=log_{10}(1000)+log_{10}(a^{\frac{2}{5}})=3 +\frac{2}{5}log_{10}(a)

3. log_2 (6)  log_2(48) = log_2(\frac{6}{48})=log_2(\frac{1}{8})=log_2(2^{-3})=-3

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Für log_{10} schreibt man lg

Für log_e schreibt man ln, wenn e die Eulersche Zahl e = 2, 718 281 828 459 045 235 360 287 ... ist.

Diese beiden Symbole findest du auch auf dem Taschenrechner.

4. lg(\sqrt {250})-lg(\sqrt 2)+0,5lg(8)=lg({\frac{\sqrt {250} \cdot \sqrt 8}{\sqrt 2}}= lg(\sqrt{1000} =\lg(10^{\frac{3}{2}})=\frac{3}{2}


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 4

Für die Logarithmen zur Basis 2 hat man diese Tabelle: Log zur Basis 2.jpg

Berechne die Logarithmen auf zwei verschiedene Arten:
1.) indem du zuerst das Argument des Logarithmus berechnest und dann logarithmierst.
2.) indem die Rechenregeln verwendest und die Logarithmen addierst, subtrahierst, ....

Beispiel: log2(4·8) berechnest du als
1.) log2(4·8)=log2(32)=5
2.) log2(4·8) = log2(4) + log2(8)= 2 + 3 = 5

a) log2(4·16)
b) log2(4·32)
c) log2(8·32)
d) log2(\frac{32}{8})
e) log2(\frac{64}{4})
f) log2(\frac{128}{8})
g) log2(\frac{256}{32})
h) log2(43)
i) log2(85)

a) 1.) log2(4·16)=log(64)=6
2.) log2(4·16)= log2(4) + log2(16) = 2 + 4 = 6

b) 1.) log2(4·32)= log2(128) = 7
2.) log2(4·16) = log2(4) + log2(16) ? 2 + 4 = 6

c) 1.) log2(8·32) = log2(256) = 8
2.) log2(8·32)= log2(8) + log2(32) = 3 + 5 = 8

d) 1.) log2(\frac{32}{8}) = log2(4) = 2
2.) log2(\frac{32}{8}) = log2(32) - log2(8) = 5 - 3 = 2

e) 1.) log2(\frac{64}{4}) = log2(16) = 4
2.) log2(\frac{64}{4}) = log2(64) - log2(4) = 6 - 2 = 4

f) 1.) log2(\frac{128}{8}) = log2(16) = 4
2.) log2(\frac{128}{8}) = log2(128) - log2(8) = 7 - 3 = 4

g) 1.) log2(\frac{256}{32}) = g) log2(8) = 3
2.) g) log2(\frac{256}{32}) = log2(256) - log2(32) = 8 - 5 = 3

h) 1.) log2(43) = log2(512) = 9
2.) log2(43) = 3·log2(4) = 3·3 = 9

i) 1.) log2(85) = log2(32768) = 15

2.) log2(85) = 5·log2(8) = 5·3 = 15


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Nicht verwechseln!

Potenzieren.jpg


Maehnrot.jpg
Merke:

Basiswechsel:  log_a(p) = \frac{log_b(p)}{log_b(a)}

Zur Begründung: x = log_a(p) ist Lösung der Gleichung a^x = p.
Nun möchte man die Basis a durch die Basis b ersetzen. Dazu verwendet man, dass  a = b^{log_b(a)} ist.
Es ist dann a^x = (b^{log_b(a)})^x = b^{x \cdot log_b(a)} und die Gleichung lautet dann b^{x \cdot log_b(a)}=p
Diese Gleichung löst man nach dem Exponenten auf. Es ist x \cdot log_b(a) = log_b(p), dividiert durch den Koeffizienten von x und erhält  x = \frac{log_b(p)}{log_b(a)}.
Damit hat man gezeigt, dass log_a(p) = x = \frac{log_b(p)}{log_b(a)} ist.

Beispiele: Auf den Taschenrechnern sind immer zwei Logarithmus-Tasten, meist eine Taste log oder lg für den Logarithmus zur Basis 10 und ln für den Logarithmus zur Basis e.
log_2(5) = \frac{lg(5)}{lg(2)}\approx 2,231928
log_7(2)=\frac{ln(2)}{ln(7)}\approx 0,359207


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 5

Vervollständige die Tabellen mit Hilfe deines Taschenrechners:
1. Log zur basis 10.jpg

2. Verwende die Formel für den Basiswechsel!
Log zur Basis 2 2.jpg

1. Log zur basis 10 2.jpg

2. Log zur Basis 2 2a.jpg

Ich habe diese Tabelle mit einer Tabellenkalkulation erstellt, dort gibt man auch die Basis ein, also berechnet man tatsächlich den gewünschen Logarithmus. Ihr sollt aber ja den Basiswechsel am TR üben.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 6

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