M10 Die Logarithmusfunktion

Merke: Die Logarithmusfunktion zur Basis 2 $f:x \to log_2(x)$ hat folgende Eigenschaften. D = R+, W = R Der Graph hat genau eine Nullstelle (1;0), es ist $log_2(1) = 0$. Es ist $log_2(2) = 1, log_2(\frac{1}{2})=-1$ Die negative y-Achse ist Asymptote.

Die Graphen von Logarithmusfunktionen zu anderen Basen wie b = 2, 3, 4, ... kannst du dir mit folgendem Applet anschauen. Mit dem Schieberegler für b änderst du den Wert der Basis b. Beachte dabei, dass stets

• log_b(1) = 0

• log_b(b) = 1

• log_b($\frac{1}{b}$) = -1 ist

  Aufgabe 1

Nenne Beispiele, bei denen Logarithmusfunktionen vorkommen.

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Erdbeben, Lautstärke, ph-Wert

Merke: Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion.

Was ist eine Umkehrfunktion?

Bei der Exponentialfunktion hatten wir Zahlen, die sich als y = 2^x ergeben haben, z.B. y = 2³ = 8. Die Zuordnung $x \rightarrow 2^x$ ist für alle reellen Zahlen x erklärt und eindeutig. Daher ist diese Zuordnung eine Funktion. Man spricht von der Exponentialfunktion f zur Basis 2 $f: x \rightarrow 2^x$.
$x = log_2(8)=3$ ist eine reelle Zahl. Setzt man diese Zahl in die Exponentialfunktion ein, dann erhält man $2^{log_2(8)}=8$.
Beim Logarithmieren wird von einer Zahl sein Logarithmus gebildet. Setzt man diese neue Zahl in die Exponentialfuntkion ein, dann erhält man wieder die Zahl, von der man anfangs den Logarithmus gebildet hat. Daa Zusammenspiel dieser beiden Funktionen bezeichnet man als Funktion und Umkehrfunktion.

  Aufgabe 2

Bearbeite die Seiten zur Entstehung der Umkehrfunktion.

Merke: Die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion $f:x\rightarrow 2^x, x \in R$ ist die Logarithmusfunktion zur Basis 2 $g:x\rightarrow log_2(x), x\in R^+$, bzw. umgekehrt ist f die Umkehrfunktion zu g. Es ist $2^{log_2(x)}=x$ und $log_2(2^x) = x$. Die Graphen von f und g sind symmetrisch zur Winkelhalbierenden y = x des 1. und 3. Quadranten.