M10 Funktionsgleichungen der Exponentialfunktion

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Hier geht es darum aus einem Sachzusammenhang eine Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion zu erstellen und die Aufgabe damit zu lösen. Es geht um Exponentialfunktionen mit der Funktionsgleichung f(x)=b\cdot a^x.
Man hat zwei Angaben mit denen man zwei Gleichungen erhält und dann a und b berechnet.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

Buch S. 97 / 14

Im Jahr 2000 war die Bevölkerung 830 Millionen, 2005, also 5 Jahre später war die Bevölkerung 898 Millionen.
Das führt zu den zwei Gleichungen
1. 830\cdot 10^6 = b\cdot a^0, wenn man im Jahr 2000 mit der Zeitrechnung beginnt. Also ist hier b = 830\cdot 10^6 und
2.  898\cdot 10^6=830\cdot 10^6 \cdot a^5
Die letzte Gleichung führt zu 898 = 830 \cdot a^5 und a = \sqrt [5] {\frac{449}{415}}\approx 1,016
Der jährliche Wachstumsfaktor ist a = 1,016. Die Bevölkerung nimmt jährlich um 1,6% zu.
Das Wachstumsgesetz lautet f(x)= 830 \cdot 10^6 \cdot 1,016^x.

b) f(25)= 830 \cdot 10^6 \cdot 1,016^{25}=1234\cdot 10^6, f(50)= 830 \cdot 10^6 \cdot 1,016^{50}=1836\cdot 10^6


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 2

Buch S. 97 / 15

a) Bei einer exponentiellen Abnahme nimmt die Konzentration anfangs stark ab und am Ende wenig. Daher wirkt es am Anfang stärker und die Wirkung nimmt gegen Ende ab.

b) Ansatz: c(t)=b\cdot a^{t}. Es ist c(3)=8,4 und c(8) = 6,3. Man hat also zwei Gleichungen:
(1) 8,4 = b\cdot a^{3} und
(2) 6,3 = b\cdot a^{8}
Dividiert man die Gleichungen (1):(2) erhält man \frac{8,4}{6,3}=a^{^-5} und a = \sqrt [5]{\frac{6,3}{8,4}} =\sqrt [5]{0,75}\approx  0,944.
Die Anfangskonzentration b erhält man, indem man den Wert von a in eine der Gleichungen einsetzt und nach b auflöst.
8,4=b \cdot 0,944^3 ergibt b = 9,985. Also war die Anfangskonzentration etwa 10 mg/l.
Die Abnahme pro Stunde ist 0,056 = 5,6%.

c) c(12)=10\cdot 0,994^{12}=5,0 und c(24)=10 \cdot 0,994^{24}=2,5

d) Tabletten sollten nach Vorschrift eingenommen werden um eine möglichst hohe Wirksamkeit zu erzielen.

Bemerkung: Man hätte auch einen Ansatz c(t)=b\cdot a^{-t} in b) machen können, dann wäre a = 1,06. Die Abnahme wird durch das - im Exponenten berücksichtigt.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 3

Buch S. 97 / 16

Ansatz p(h)=b\cdot a^h
a) Man setzt die Werte ein und erhält zwei Gleichungen
(1) 915 = b\cdot a^{708} und
(2)  689 = b \cdot a^{2963}
Dividiert man (2):(1) erhält man \frac{689}{915}=a^{2255} und a = \sqrt [2255]{\frac{689}{915}}=0,9998742

Man soll allerding die Abnahme pro km angeben. Dazu macht man die analoge Rechnung mit km.
(1) 915 = b\cdot a^{0,708} und
(2)  689 = b \cdot a^{2,963}
Dividiert man (2):(1) erhält man \frac{689}{915}=a^{2,255} und a = \sqrt [2,255]{\frac{689}{915}}=0,881789\approx 0,882
Die Abnahme pro km ist also 0,118 = 11,8%.

915 = b \cdot 0,9998742^{708} ergibt b=1000.
Die Luftdruckformel ist p(h)=1000\cdot 0,9998742^h.
In Meereshöhe (h = 0) ist der Luftdruck 1000 hPa.
Pro 1 km nimmt der Luftdruck um 11,8% ab.

b) 97-16.jpg

c) Bei \Deltah = 5510 m halbiert sich jeweils der Luftdruck.

d) p(4807)=1000\cdot 0,9998742^{4807}=556
p(8850)=1000\cdot 0,9998742^{8850}=328

p(-400)=1000\cdot 0,9998742^{-400}=1052