M10 Wahrscheinlichkeitsrechnung

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Mehrstufige Zufallsexperimente

In der neunten Klasse habt ihr schon mehrstufige Zufallsexperimente behandelt.

Maehnrot.jpg
Merke:

Es gelten bei mehrstufgen Zufallsexperimenten die drei Pfadregeln:

1. Der Summenwert der Wahrscheinlichkeiten auf den Teilpfaden, die von einem Verzweigungspunkt ausgehen, ist 1.

2. Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist gleich dem produtk der Wahrscheinlichkeiten auf dem Pfad, der zu diesem Ergebnis führt.

3. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten für die zugehörigen Ergebnisse.

Beim Spiel "Mensch ärgere dich nicht" hat man für Franz folgende Situation

Mehrstufige Zufallsexperiment.jpg

Die erste Pfaderegel bedeutet hier, dass vom oberen Verzweigungspunkt ("Franz kommt heraus oder kommt nicht heraus.") die Summe \frac {1}{6} + \frac {5}{6} = 1 ist.
Für den Verzweigungspunkt "6" bedeutet dies \frac {1}{6} + \frac {1}{6} + \frac {4}{6} = 1

Die zweite Pfadregel bedeutet hier für das Ergebnis "Franz kommt heraus und schlägt rot."), dass die Wahrscheinlichkeit für dieses Ergebnis  \frac {1}{6} \cdot \frac {1}{6} = \frac {1}{36} ist.
Für das Ergebnis "Franz kommt heraus und schlägt grün." ist die Wahrscheinlichkeit  \frac {1}{6} \cdot \frac {1}{6} = \frac {1}{36}.

Mit der dritten Pfadregel erhält man für das Ereignis "Franz kommt heraus und schlägt die rote oder grüne Spielfigur" die Wahrscheinlichkeit \frac {1}{3} + \frac {1}{36} = \frac {1}{18} .


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

Buch S. 70 / 1
Buch S. 70 / 2

70/1a \Omega = {RRR, RRW, RWR, RWW, WRR, WRW, WWR}
b) 70-1b.jpg
c) P({RRR}) = \frac {5}{7} \cdot  \frac {4}{6} \cdot \frac {3}{5}=\frac{6}{21}
d) P("beide weiße Kugeln") = P({RWW, WRW, WWR})= \frac{5}{7} \cdot \frac{2}{6} \cdot \frac{1}{5} + \frac{2}{7} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{5} + \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{5} = \frac{3}{21}


70/2a \Omega = {RRR, RRW, RWR, RWW, WRR, WRW, WW}
b) 70-2b.jpg
c) geschätzt: ?

P(RRR)= \frac{6}{8} \cdot \frac{5}{7} \cdot \frac{4}{6} = \frac{5}{14} \approx 36%, also kleiner als 50%.

Man sieht an dem Eingangsbeispiel und den zwei Aufgaben, dass ein weitergehendes Experiment vom vorherigen Ausgang abhängen kann.
Bei "Mensch ärgere dich nicht" kann Franz nur weiterwürfeln, wenn er "6" gewürfelt hat.
Bei den Aufgaben sieht man, dass wenn zwei weiße Kugeln gezogen sind, nur noch rote Kugeln gezogen werden können.
Der weitere Versuchsverlauf hängt also von dem bisherigen Ergebnis/den bisherigen Ergebnissen ab.

Bedingte Wahrscheinlichkeit