M11 Ableitung der trigonometrischen Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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c) f(x) = tan(x) mit <math>f'(x)=\frac{1}{(cos(x))^2}</math><br>
 
c) f(x) = tan(x) mit <math>f'(x)=\frac{1}{(cos(x))^2}</math><br>
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In D ist f' stets positiv und nirgends 0, also hat f kein Extremum.<br>
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(1) In D ist f' stets positiv und nirgends 0, also hat f kein Extremum.<br>
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f'(x) = 1 für <math>(cos(x))^2 = 1</math>, also für x = 0.
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(2) f'(x) = 1 für <math>(cos(x))^2 = 1</math>, also für x = 0.
 
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d) f(x) = 0,5 cos(2x + <math>\frac{\pi}{6}</math>)
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d) f(x) = 0,5 cos(2x + <math>\frac{\pi}{6}</math>) mit f'(x) = - sin(2x + <math>\frac{\pi}{6}</math>)<br>
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(1) f'(x) = - sin(2x + <math>\frac{\pi}{6}</math>) = 0, wenn <math>2x+\frac{\pi}{6} =-2\pi; -\pi; 0; \pi; 2\pi</math>. <br>
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<math>x_1=-\frac{-13\pi}{12} \notin D</math><br>
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<math>x_2=-\frac{5\pi}{12}; x_3=-\frac{\pi}{12}; x_4=\frac{5\pi}{12};x_5=\frac{11\pi}{12}</math><br>
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(2) f'(x) = - sin(2x + <math>\frac{\pi}{6}</math>) = 1 bzw. sin(2x + <math>\frac{\pi}{6}</math>) = - 1 für <math>2x + \frac{\pi}{6}= -\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}</math><br>
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<math>x_6=-\frac{1\pi}{3}; x_7=\frac{2\pi}{3}</math>
 
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Die Nullstellen der Ableitung wurden unter Berücksichtigung der Definitionsmenge bestimmt. Natürlich hat ein sin oder cos unendlich viele Nullstellen in R, aber da hier nur Intervalle gegeben waren, wurden passende x-Werte für die Nullstellen verwendet.}}
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{{Aufgaben-blau|3|2=Buch S. 135 / 4 }}
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{{Lösung versteckt|1=a) F(x) = -0,5·cos(2x) +  C<br>
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b) F(x) = <math>\pi</math>·sin(<math>\frac{x}{\pi}) + C</math><br>
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c) F(x) = <math>\frac{1}{2}x^2 + sin(x) + C</math><br>
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d) F(x) = <math>-\frac{40}{\pi}\cdot cos(\frac{\pi}{4}x) + C</math>  }}

Version vom 8. März 2021, 15:29 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Die Ableitung der Sinusfunktion

In dem folgenden Applet wird zu jedem Punkt P auf dem Graph der Sinusfunktion f:x \to sin(x) über der x-Koordinate von P die Steigung der Tangente aufgetragen. Bewegt man P auf dem Graphen, dann wird die Spur von A angezeigt.

Maehnrot.jpg
Merke:

Die Ableitung der Sinusfunktion ist die Kosinusfunktion. Es ist (sin (x))' = cos (x) .

Im Buch ist auf S. 137 unter 2. die Herleitung über die Definition der Ableitung nachzusehen

Die Ableitung der Kosinusfunktion

Maehnrot.jpg
Merke:

Die Ableitung der Kosinusfunktion ist die negative Sinusfunktion. Es ist (cos (x))' = - sin (x) .

Man erhält die Ableitung der Kosinusfunktion auch mit Hilfe der Kettenregel. Es ist cos(x)=sin(\frac{\pi}{2}-x) und sin(x)=cos(\frac{\pi}{2}-x). Damit ist die Ableitung (cos(x))'=(\left ( sin(\frac{\pi}{2}-x) \right)' =cos(\frac{\pi}{2}-x) \cdot (-1)= - cos(\frac{\pi}{2}-x)=- sin(x)



Die Ableitung der Tangensfunktion

Man weiß tan(x)=\frac{sin(x)}{cos(x)}. Mit der Quotientenregel kann man tan(x) ableiten. Es ist (tan(x))'=\frac{cos(x)\cdot cos(x) - sin(x)\cdot (-sin(x))}{(cos(x))^2}=\frac{(cos(x))^2+(sin(x))^2}{(cos(x))^2}=\frac{1}{(cos(x))^2}

Maehnrot.jpg
Merke:

Die Ableitung der Tangensfunktion ist (tan(x))'= \frac{1}{(cos(x))^2} .


Stammfunktionen

Maehnrot.jpg
Merke:

Die Menge aller Stammfunktionen F der

  • Sinusfunktion f:x \to sin(x) ist F:x \to - cos(x) + C
  • Kosinusfunktion f:x \to cos(x) ist F:x \to sin(x) + C

Die Stammfunktionen weist man nach, indem man sie ableitet:

  • \left ( - cos(x) + C \right )' = sin(x)
  • \left ( sin(x) + C \right )' = cos(x).

Aufgaben

Nuvola apps kig.png   Merke

Zur Wiederholung:

sin(-x) = - sin(x) und cos(-x) = cos(x)

(sin x)^2 + (cos x)^2 = 1

sin(x) = cos(\frac{\pi}{2} - x) und cos(x) = sin(\frac{\pi}{2} - x)

tan(x) = \frac{sin(x)}{cos(x)}


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

Buch S. 134 / 1

a) y' = - sin(x-3)
b) y' = cos(x2)· 2x = 2x cos(x2)
c) y' = cos(x) · cos(x) + sin(x) · (-cos(x)) = (cos(x))2 - (sin(x))2
d) y' = 2 sin(x) · cos(x) (nachdifferenzieren!)
e) y' = 2 cos(x) · ( - sin(x)) = - 2 sin(x)·cos(x)
f) y' = - a· sin(ax + b)
g) y' = 2x · sin(x) + x2 · cos(x)
h) Es ist 1 - (sin x)2 = (cos x)2. Daher ist y' = ((cos x)4)' = 4·(cos x)3· ( - sin x) = - 4 sin x · (cos x)3.
i) y' = 0
j) y' = 3x^2 + 2x\cdot sin(\frac{3}{2}\pi) + cos(\pi)=3x^2 - 2x -1
k) y' = \frac{-sin(x) sin(x) - cos(x)cos(x)}{(sin(x))^2}= \frac{-1}{(sin(x))^2}
l) y' = 2[1- sin(2x)] · [ - 2 cos(2x)] oder y = (cos(2x))2 und y' = 2·cos(2x)·(-2sin(x))
m) y' = 0
n) y' = \frac{sin(x) - x \cdot cos(x)}{(sin(x))^2}
o) y' = -sin(\frac{1}{x})\cdot (-\frac{1}{x^2})=\frac{sin(\frac{1}{x})}{x^2}
p) y' = cos(\frac{\pi}{3}x)\cdot \frac{\pi}{3}

q) y' = \frac{1}{(cos(x))^2}


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 2

Buch S. 135 / 3

a)f(x) = sin(x), die Ableitungsfunktion f' ist f'(x) = cos(x)
f hat einen Extrempunkt in x0, wenn f#(x0 = 0 ist und ein VZW vorliegt.
(1) Im Intervall [-1,6\pi;1,6\pi] ist cos(x)= 0 für x = -1,5\pi; -0,5\pi; 0,5\pi; 1,5\pi
Bei x = -1,5\pi hat f' einen VZW +/-, also hat f ein Maximum.
Bei x = -0,5\pi hat f' einen VZW -/+, also hat f ein Minimum.
Bei x = 0,5\pi hat f' einen VZW +/-, also hat f ein Maximum.
Bei x = 1,5\pi hat f' einen VZW -/+, also hat f ein Minimum.
(2) f'(x) = cos(x) = 1 für x = -\pi; 0, \pi
135-3a.jpg

b) f(x) = cos(2x), D = ]-2;2[. die Ableitungsfunktion f' ist f'(x) = - 2·sin(2x)
(1) f'(x) = - 2·sin(2x) = 0 für x = -0,5\pi; 0; 0,5\pi
Bei x = -0,5\pi hat f' einen VZW -/+, also hat f ein Minimum.
Bei x = 0 hat f' einen VZW +/-, also hat f ein Maximum.
Bei x = 0,5\pi hat f' einen VZW -/+, also hat f ein Minimum.
(2) f'(x) = - 2·sin(2x) = 1 für sin(2x) = - 0,5 und 2x = -\frac{\pi}{6} und x = -\frac{5\pi}{6}, also x = -\frac{5\pi}{12} und -\frac{\pi}{12}.
135-3b.jpg

c) f(x) = tan(x) mit f'(x)=\frac{1}{(cos(x))^2}
(1) In D ist f' stets positiv und nirgends 0, also hat f kein Extremum.
(2) f'(x) = 1 für (cos(x))^2 = 1, also für x = 0. 135-3c.jpg

d) f(x) = 0,5 cos(2x + \frac{\pi}{6}) mit f'(x) = - sin(2x + \frac{\pi}{6})
(1) f'(x) = - sin(2x + \frac{\pi}{6}) = 0, wenn 2x+\frac{\pi}{6} =-2\pi; -\pi; 0; \pi; 2\pi.
x_1=-\frac{-13\pi}{12} \notin D
x_2=-\frac{5\pi}{12}; x_3=-\frac{\pi}{12}; x_4=\frac{5\pi}{12};x_5=\frac{11\pi}{12}
(2) f'(x) = - sin(2x + \frac{\pi}{6}) = 1 bzw. sin(2x + \frac{\pi}{6}) = - 1 für 2x + \frac{\pi}{6}= -\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}
x_6=-\frac{1\pi}{3}; x_7=\frac{2\pi}{3} 135-3d.jpg

Die Nullstellen der Ableitung wurden unter Berücksichtigung der Definitionsmenge bestimmt. Natürlich hat ein sin oder cos unendlich viele Nullstellen in R, aber da hier nur Intervalle gegeben waren, wurden passende x-Werte für die Nullstellen verwendet.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 3

Buch S. 135 / 4

a) F(x) = -0,5·cos(2x) + C
b) F(x) = \pi·sin(\frac{x}{\pi}) + C
c) F(x) = \frac{1}{2}x^2 + sin(x) + C

d) F(x) = -\frac{40}{\pi}\cdot cos(\frac{\pi}{4}x) + C
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