M11 Aufgaben und Anwendungen der Vektorrechnung
1. Gesucht sind die Punktkoordinaten, diese werden waagrecht an den Punktnamen angefügt.
A(6;0;0); B(6;12;0), C(0;12;0), D(0;0;0), E(6;0;7), F(6;12;7), G(0;12;7), H(0;0;7)
M1 ist der Schnittpunkt der Flächendiagonale der unteren Fläche. Für den Ortsvektor des Mittelpunktes der Strecke [DB] hat man die Formel . Dies liefert dann aie Koordinaten des Schnittpunktes.
M1(3;6;0), M3(3;12;3,5), M6(3;6;7) und M(3;6;3,5)
4. a) und
b) und
c) und
5. In dem gezeichneten Koordinatensystem im Buch ist keine Achsenskalierung angegeben. Für die Angaben wurden jeweils zwei Kästchen als 1 LE angenommen.
a)
b)
c)
Ausgangspunkt ist die Funktion D=R\{0},
Die Definitionslücke ist bei x = 0. Die beiden Hyperbeläste sind punktsymmetrisch zum Ursprung.
a) Die Funktion hat die Definitionslücke bei x = 1. Also wird der Graph der Funktion um 1 nach rechts in x-Richtung verschoben.
Zu jedem Funktionswert wird 4 addiert. Also wird zusätzlich noch in y-Richtung um 4 nach oben verschoben.
Das Symmetriezentrum ist nun (1;4) und der Verschiebungsvektor . Der grüne Graph der Funktion wird um 1 nach rechts und 4 nach oben verschoben. Man erhält den roten Graph der Funktion .
b) Die Funktion hat die Definitionslücke bei x = -2. Also wird der Graph der Funktion um -2 in x-Richtung (um 2 nach links) verschoben.
In y-Richtung passiert nichts.
Das Symmetriezentrum ist nun (-2;0) und der Verschiebungsvektor . Der grüne Graph der Funktion wird um 2 nach links verschoben und man erhält den blauen Graph der Funktion .
1a)
b) und M(2,5;1;-3)
Das Viereck ABCD bildet die Grundfläche der Pyramide. Da in der Volumenformel der Pyramide der Flächeninhalt der Grundfläche vorkommt. soll zuerst G berechnet werden.
Hier sieht man, dass ist, das Viereck ist also ein Parallelogramm. Es ist weiterhin . Also ist das Viereck eine Raute.
Wegen ist der Winkel bei B ein 90o-Winkel. Also ist das Viereck ein Quadrat. Sein Flächeninhalt ist dann G = 36.
Aus der Volumenformel kann man nun die Länge der Pyramidenhöhe h bestimmen. .
Mit dem Vektorprodukt hätte man auch den Flächeninhalt der Grundfläche G bestimmen können. Es erhält in beiden Fällen 36.
Der Mittelpunkt M des Quadrats ist der Höhenfußpunkt der Pyramide. M ist auch der Schnittpunkt der Diagonalen des Quadrats, bzw. der Mittelpunkt einer Quadratdiagonalen.
Es ist und M(2;3;-1).
Nun muss man senkrecht zu G von M aus 6 Einheiten nach "oben" oder "unten" gehen um zu S zu kommen. Dazu braucht man einen Vektor , der senkrecht zur Grundfläche steht. Einen solchen Vektor erhält man, wenn man das Vektorprodukt bestimmt. Es ist
Der Betrag des Vektors ist
Der Einheitsvektor zu zum Vektor ist
Nun muss man die Pyramidenspitze S bestimmen. Von M aus geht man 6 Einheiten in Richtung des Einheitsvektors , also .