M11 Aufgaben zu Logarithmus- und Exponentialfunktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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Die Normale zur Tangente in P hat dann die Steigung m = -1 und sie hat die Gleichung y = -x +1. Sie schneidet die x-Achse in B(1;0).<br>
 
Die Normale zur Tangente in P hat dann die Steigung m = -1 und sie hat die Gleichung y = -x +1. Sie schneidet die x-Achse in B(1;0).<br>
 
Das Dreieck ABP ist ein gleichschenkliges, rechtwinkliges Dreieck. Der Winkel bei P ist 90<sup>o</sup>, die Basiswinkel sind jeweils 45<sup>o</sup>. }}
 
Das Dreieck ABP ist ein gleichschenkliges, rechtwinkliges Dreieck. Der Winkel bei P ist 90<sup>o</sup>, die Basiswinkel sind jeweils 45<sup>o</sup>. }}
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Buch S. 152 / 12<br>
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<center><ggb_applet height="400" width="600"
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{{Lösung versteckt|1=a) Die Koordinaten des Schnittpunkts B liest man gleich aus dem Diagramm ab, da beide Graphen sich bei x = 0 schneiden. Es ist B(0;1).<br>
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Die x-Koordinate von A erhält man durch Lösen der Gleichung <math>e^{0,5x} = 4-3e^{-0,5x} </math>.<br>
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<math>e^{0,5x} = 4-3e^{-0,5x} \qquad |\cdot e^{0,5x}</math><br>
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<math>e^{x} = 4e^{0,5x}-3 \qquad |-4e^{0,5x}+3</math><br>
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<math>e^{x} - 4e^{0,5x}+3 = 0 </math><br>
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Substituiert man <math>w = e^{0,5x}</math>, dann man hat die quadratische Gleilchung <math>w^2 - 4w + 3 = 0 </math> zu lösen. Es ist <math>w^2 - 4w + 3 = (w-1)(w-3) </math> und daher hat die Gleichung <math>w^2 - 4w + 3 = 0 </math> die zwei Lösungen <math>w_1=1, w_2 = 3</math>. Die Lösung <math>w_1=1</math> führt beim Resubstituieren auf <math>0,5x = ln(1)</math>, also <math> x = 0</math>. (Lösung für B!)<br>
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Die zweite Lösung <math>w_2 = 3</math> führt beim Resubstituieren auf <math>0,5x = ln(3)</math> und <math> x = 2\cdot ln(3) = ln(9) \approx 2,19722</math>. Also ist A(ln9; 3).
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b) Es ist S(a; e<sup>0,5a</sup>) und T(a;4-3e<sup>-0,5a</sup>) und die Länge der Strecke [ST] ist <math>\overline {ST} = 4-3e^{-0,5a} - e^{0,5a}</math> (T liegt über S, also ist bei y<sub>T</sub> - y<sub>S</sub> die Differenz positiv).<br>
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Betrachtet man nun die Funktion <math>s:a\rightarrow 4 - 3e^{-0,5a} - e^{0,5a}</math> für <math>a \in [0;ln(9)]</math>, dann muss  man das Maximum von s finden. Dazu setzt man die <math>s'(a)</math> gleich 0 und erhält bei VZW +/- das gesuchte a.<br>
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<math>s'(a)= -3e^{-0,5a}\cdot(-0,5) - e^{0,5a}\cdot 0,5 = 1,5e^{-0,5a} - 0,5e^{0,5a}</math><br>
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<math>1,5e^{-0,5a} - 0,5e^{0,5a}= 0 \qquad |+0,5e^{0,5a}</math>
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<math>1,5e^{-0,5a} = 0,5e^{0,5a} \qquad |\cdot 2</math><br>
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<math>3e^{-0,5a} = e^{0,5a} \qquad |\cdot e^{0,5a}</math><br>
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<math>3 = e^a \qquad |logarithmieren</math> <br>
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<math>a = ln(3) \approx 1,1</math><br>
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Lässt man sich mit GeoGebra die Graphen von s und s' zeichnen, dann hat man dieses Bild:<br>
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[[Datei:152-12b.jpg|350px]]<br>
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und man sieht, dass s' bei a = ln(3) eine VZW +/- hat, also hat s bei a = ln(3) ein Maximum. }}

Version vom 16. April 2021, 09:44 Uhr

Buch S. 151 / 4

151 / 4 Da man nur eine Stammfunktion angeben soll, wird auf + C verzichtet.
a) F(x) = ex + x
b) F(x) = - e-x
c) F(x) = 0,5(ex - e-x)
d) F(x) = 0,5x2 + 2x + ex+2
e) F(x) = e1+x
f) F(x) = 2e0,5x

Sie können dies leicht überprüfen, indem Sie prüfen ob F'(x) = f(x) ist.

Buch S. 152 / 7a

Es ist P(0;1), Q(2;e2), f'(x) = ex imd f'(0) = 1 und f'(2) = e2.
Gleichung der Tangente t1 in P: y = x + 1
Gleichung der Tangente t2 in Q: y = e2·x - e2. (t erhält man aus der Gleichung e2 = e2·2 - t.)

Den Schnittwinkel der beiden Tangenten erhält man, indem man \varphi = \varphi_2 - \varphi_1 bildet, wenn \varphi_1 der Schnittwinkel von t1 mit der Waagrechten im Schnittpunkt und \varphi_2 der Schnittwinkel von t2 mit der Waagrechten im Schnittpunkt ist.
Es ist tan(\varphi_1) = 1, also ist \varphi_1 = 45^o.
Es ist tan(\varphi_2) = e^2, also ist \varphi_2=82,3^o
Damit ist \varphi = \varphi_2 - \varphi_1 = 82,3^o - 45^o = 37,3^o.
152-7a.jpg

Oder man verwendet die neben der Aufgabe stehende Formel: tan(\varphi) = \left | \frac{m_2-m_1}{1+m_1m_2} \right| = \left | \frac{e^2 - 1}{1 + 1\cdot e^2} \right |=0,76159... ergibt \varphi = 37,3^o.

Buch S. 152 / 8

152-8a.jpg
a) Die Koordinaten des Schnittpunkts S der beiden Graphen erhält man, indem man die Funktionsterme gleich setzt.
e^{-\frac{x}{2}}=0,5e^{x+1} \qquad |\cdot e^{-(x+1)}
e^{-\frac{x}{2}}\cdot e^{-(x+1)}=0,5
e^{-\frac{x}{2} - x - 1}=\frac{1}{2}
e^{-\frac{3x}{2}}\cdot e^{- 1}=\frac{1}{2} \qquad |\cdot e
e^{-\frac{3x}{2}}=\frac{e}{2} \qquad |logarithmieren
-\frac{3x}{2} = ln(\frac{e}{2})
-\frac{3}{2}x=ln(e) - ln(2)
-\frac{3}{2}x=1 - ln(2) \qquad |\cdot (- \frac{2}{3})
x = -\frac{2}{3}(1-ln(2))\approx -0,2

y = f(-\frac{2}{3}(1-ln(2)) \approx 1,11, also S(-0,2; 1,11) (näherungsweise, aber genügend genau!)

Den Schnittwinkel zwischen beiden Graphen erhält man, indem man den Schnittwinkel der Tangenten in S an Gf und Gg bestimmt. Dazu muss man nicht die Tangetengleichungen aufstellen. Es reicht, wenn man die Steigungen in S kennt, denn es ist tan(\varphi) = f'(x_S).
Man berechnet f'(x) = -\frac{1}{2}e^{-\frac{x}{2}} und f'(-\frac{2}{3}(1-ln(2)))\approx -0,55.
g'(x)=\frac{1}{2}e^{x+1} und g'(e^((-(2*ln(2)/3-2/3))/2)) \approx 1,11.
Für f ist tan(\varphi_1)=-0,55385 und \varphi_1 = -28,98^o und
für g ist tan(\varphi_2) = 1,10770 und \varphi_2 = 47,93^o.
Damit ist \varphi = \varphi_2 - \varphi_1 = 47,93^o - (-28,98^o) = 76,91^o.
152-8a 2.jpg

b) Die Tangente in A soll parallel zu einer Geraden h mit Steigung - 0,5 sein. Also ist f'(xA) = - 0,5.
- 0,5 = -\frac{1}{2}e^{-\frac{x}{2}} \qquad | \cdot (-2)
1 =e^{-\frac{x}{2}} \qquad |logarithmieren
ln(1) = -\frac{x}{2} ergibt 0 = -\frac{x}{2} und x = 0.
A(0;1) 152-8b 1.jpg

Die Tangente in B soll senkrecht zu einer Geraden k mit Steigung -2 sein. Die Tangente in B an Gg hat dann die Steigung 0,5. Also ist g'(xB) = 0,5.
0,5=\frac{1}{2}e^{x+1} \qquad |\cdot 2
1=e^{x+1} \qquad |logarithmieren
0 = x+1 ergibt x = -1

B(-1;0,5) 152-8b 2.jpg

Buch S. 153 / 14

Graph 1 gehört zu Funktion f (f ist die einzige Funktion mit D = R+. Außerdem kann man den Funktionsterm vereinfachen. Es ist f(x) = 2xeln(x)=2x2 und der Graph ist eine halbe Parabel.)
Graph 2 gehört zu Funktion d (d hat bei x = 0 eine Polstelle. )
Graph 3 gehört zu Funktion a (ex wird um den Faktor 2 in y-Richtung gestreckt, ebenso in x-Richtung, also ist der Verlauf fast wie bei der "e-Funktion" durch (0;2).)
Graph 4 gehört zu Funktion b (-ex ist ex an der x-Achse gespiegelt und wird um 3 nach oben verschoben.)
Graph 5 gehört zu Funktion c (c ist die einzig verbleibende Funktion mit c(0) = 2.)

Graph 6 gehört zu Funktion e (e hat als einzige Funktion eine Nullstelle bei x = 1.)

Buch S. 152 / 9

Zuerst zeichnet man den Sachverhalt.
152-9.jpg
Es ist f'(0) = 1, also ist die Steigung m = 1 der Tangente in (P0;1). Die Tangente hat dann die Gleichung y = x + 1. Sie schneidet die x-Achse in A(-1;0).
Die Normale zur Tangente in P hat dann die Steigung m = -1 und sie hat die Gleichung y = -x +1. Sie schneidet die x-Achse in B(1;0).

Das Dreieck ABP ist ein gleichschenkliges, rechtwinkliges Dreieck. Der Winkel bei P ist 90o, die Basiswinkel sind jeweils 45o.

Buch S. 152 / 12

a) Die Koordinaten des Schnittpunkts B liest man gleich aus dem Diagramm ab, da beide Graphen sich bei x = 0 schneiden. Es ist B(0;1).
Die x-Koordinate von A erhält man durch Lösen der Gleichung e^{0,5x} = 4-3e^{-0,5x} .
e^{0,5x} = 4-3e^{-0,5x} \qquad |\cdot e^{0,5x}
e^{x} = 4e^{0,5x}-3 \qquad |-4e^{0,5x}+3
e^{x} - 4e^{0,5x}+3 = 0
Substituiert man w = e^{0,5x}, dann man hat die quadratische Gleilchung w^2 - 4w + 3 = 0 zu lösen. Es ist w^2 - 4w + 3 = (w-1)(w-3) und daher hat die Gleichung w^2 - 4w + 3 = 0 die zwei Lösungen w_1=1, w_2 = 3. Die Lösung w_1=1 führt beim Resubstituieren auf 0,5x = ln(1), also x = 0. (Lösung für B!)
Die zweite Lösung w_2 = 3 führt beim Resubstituieren auf 0,5x = ln(3) und x = 2\cdot ln(3) = ln(9) \approx 2,19722. Also ist A(ln9; 3).

b) Es ist S(a; e0,5a) und T(a;4-3e-0,5a) und die Länge der Strecke [ST] ist \overline {ST} = 4-3e^{-0,5a} - e^{0,5a} (T liegt über S, also ist bei yT - yS die Differenz positiv).
Betrachtet man nun die Funktion s:a\rightarrow 4 - 3e^{-0,5a} - e^{0,5a} für a \in [0;ln(9)], dann muss man das Maximum von s finden. Dazu setzt man die s'(a) gleich 0 und erhält bei VZW +/- das gesuchte a.
s'(a)= -3e^{-0,5a}\cdot(-0,5) - e^{0,5a}\cdot 0,5 = 1,5e^{-0,5a} - 0,5e^{0,5a}
1,5e^{-0,5a} - 0,5e^{0,5a}= 0 \qquad |+0,5e^{0,5a} 1,5e^{-0,5a} = 0,5e^{0,5a} \qquad |\cdot 2
3e^{-0,5a} = e^{0,5a} \qquad |\cdot e^{0,5a}
3 = e^a \qquad |logarithmieren
a = ln(3) \approx 1,1
Lässt man sich mit GeoGebra die Graphen von s und s' zeichnen, dann hat man dieses Bild:
152-12b.jpg

und man sieht, dass s' bei a = ln(3) eine VZW +/- hat, also hat s bei a = ln(3) ein Maximum.
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