M11 Das Newtonsche Iterationsverfahren

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Version vom 15. Dezember 2020, 18:55 Uhr von Karlhaberl (Diskussion | Beiträge)

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Für lineare und quadratische Funktionen hat man zur Bestimmung der Nullstellen Gleichungen zu lösen. Bei quadratischen Funktionen gibt es hierzu die Lösungsformel. Für Polynome höheren Grades kann man meist nur Nullstellen erraten und dann per Polynomdivision versuchen auf ein Polynom 2. Grades zu kommen.
Bei vielen Funktionen hat man Probleme die Nullstellen zu bestimmen. Oftmals reicht es aus, wenn man einen Näherungswert hat. Ein Verfahren um einen Näherungswert für die Nullstelle einer Funktion zu finden ist das Newtonsche Iterationsverfahren.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

Lesen Sie im Buch auf S.73 den gelb unterlegten Text durch. Schauen Sie sich danach die zwei Beispiele Auf S.73-74 an.

In diesem Video wird das Newton-Verfahren erkärt.

In diesem Applet wird das Verfahren schrittweise dargestellt.

Nuvola apps kig.png   Merke

Newtonsche Iterationsformel x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}

Diese Formel steht auch in der Merkhilfe


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 2

Machen Sie jeweils den ersten Schritt des Newton-Verfahrens für die Funktionen
Verwenden Sie jeweils als Startwert x0 = 5.
a) f:x \rightarrow x^3+x^2+1
b) f:x \rightarrow x^3+x-5
c) f:x \rightarrow x^4-3x-3

a) x1 = 3,2235
Diese Lösung soll nochmals ausführlich dargestellt werden. Man erhält x1 indem man im Punkt P(x0),f(x0) auf dem Graphen von f die Tangente macht.
Es ist f(5) = 53+52+1=151.
Die Steigung der Tangente erhält man durch f'(5).
Die Ableitungsfunktion f' ist durch f(x) = 3x2+2x gegeben. Es ist f'(5) = 85.
Den Schnittpunkt der Tangente mit der x-Achse ist nun x1 und x1 erhält man nun durch die Formel x_1=x_0-\frac{f(x_0}{f'(x_0)} .
Es ist also x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}=5-\frac{151}{85}=3,2235...
b) x1 = 3,3552

c) x1 = 3,77876


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 3

Ermitteln Sie jeweils alle Nullstellen der Funktion f nach dem Newton-Verfahren auf zwei Nachkommastellen genau.
Verwenden Sie wieder als Startwert x0=5.
Hierzu empiehlt sich eine Tabellenkalkulation! Beim Aufgabe a) brauchen Sie 26 Schritte.
a) f:x \rightarrow x^3+x^2+1
b) f:x \rightarrow x^3+x-5
c) f:x \rightarrow x^4-3x-3

In der Tabellenkalukaltion können Sie leicht den Startwert x0 ändern. Variieren Sie x0 und schauen Sie nach wie vielen Schritten Sie die Nullstelle erhalten.

a) x26 = - 1,46557
b) x6 = 1,51598

c) x7 = 1,6846


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 4

Bearbeiten Sie im Buch S. 84/10 und 84/11

84/10 Da x^2+1 \ge 1 > 0 ist hat f keine Definitionslücken und auch keine Polstellen.
x = 1 ist doppelte Nullstelle.
Der Grenzwert für x \rightarrow \infty ist wegen Zählergrad = Nennergrad gleich 2 und die waagrechte Asymptote y = 2.
f'(x)=\frac{4(x^2-1)}{(x^2+1)^2}
f'(x)=0 für x = -1 oder x = 1. Wegen VZW +/- ist bei (-1;4) ein HP und wegen VZW -/+ ist bei (1;0) ein TP.
84-10.jpg
Der Flächeninhalt des Rechtecks ist AR = 8 und des Quadrats ist AQ = 10, also ist AQ umd 25% größer als AR.


84/11 f: x \rightarrow \frac{1}{4}x^4-\frac{4}{3}x^3+2x^2
Gf hat Schnittpunkt mit der y-Achse (0;0), da f(0)=0 ist und
Schnittpunkt mit der x-Achse (0;0), da \frac{1}{4}x^4-\frac{4}{3}x^3+2x^2=0
x^2(\frac{1}{4}x^2-\frac{4}{3}x+2)=0

Ein Produkt ist 0, wenn ein Faktor 0 ist, also x=0 oder \frac{1}{4}x^2-\frac{4}{3}x+2=0. Die quadratische Gleichung hat keine Lösung, da ihre Diskriminante D=\left ( \frac{4}{3} \right )^2-4\cdot \frac{1}{4} \cdot 2=\frac{16}{9}-2 <0
Also ist x=0 doppelte Nullstelle.
Für die Monotonietabelle braucht man f'. Es ist f'(x)=x^3-4x^2+4x=x(x-2)^2
f'(x)=0 für  x_1=0 , x_2=2, wobei x2=2 zweifach ist.
Gf' ist der Graph eines Polynoms 3. Grades mit Nullstelle bei x1=0 und x2=2 (doppelt), also hat man bei x2=2 keinen Vorzeichenwechsel.
Monotonietabelle:
Für x < 0 ist f'(x) < 0 und Gf ist streng monoton fallend.
Für x = 0 ist f'(0) = 0 und (0;0) ist wegen VZW -/+ ein TP.
Für 0 < x < 2 ist f'(x) > 0 und Gf ist streng monoton steigend.
Für x = 2 ist f'(2) = 0 und Gf hat dort einen Terrassenpunkt, da kein VZW.
Für x > 0 ist f'(x) > 0 und Gf ist streng monoton steigend.

84-11.jpg


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 5

Bestimmen Sie näherungsweise die x-Werte der Schnittpunkte der Geraden y = 4 mit dem dem Graphen der Funktion f: x \rightarrow \frac{1}{4}x^4-\frac{4}{3}x^3+2x^2

Für den letzten Teil der Aufgabe 84/11 geht es darum die x-Koordinaten der Punkte A und B zu bestimmen, eigentlich nur dei x-Koordinate von B.

84-11 2.jpg

Man muss also x so finden, dass die Gleichung f(x)=4 erfüllt ist. Es ist also die Gleichung

\frac{1}{4}x^4-\frac{4}{3}x^3+2x^2=4

zu lösen, was gleichbedeutend ist Nullstellen der Funktion g mit g(x) =\frac{1}{4}x^4-\frac{4}{3}x^3+2x^2-4 zu finden. Man muss also die Gleichung

\frac{1}{4}x^4-\frac{4}{3}x^3+2x^2-4=0

lösen. Hierfür gibt es keine Lösungsformel und das Rezept vom letzten Jahr, dass man eine Nullstelle "rät" und dann Polynomdivision macht geht hier auch nicht. Also bleibt nur das Newton-Verfahren übrig.

84-11 3.jpg

Es geht also darum die x-Koordinaten der Punkte D und E zu bestimmen. Für das Newton-Verfahren hängt es stark ab welchen Startwert x0 man nimmt. Wir probieren es mit x0 = 1.
Mit x_0=1 ist f(1)=-\frac{37}{12}, f'(x)=1 und x_1=x_0-\frac{f(1)}{f'(1)}=1-\frac{-\frac{37}{12}}{1}=\frac{49}{12} \approx 4,0833
Es ist dann f(\frac{49}{12})\approx 8,08100 und f'(\frac{49}{12})=17,7228 und x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)}=4,0833-\frac{8,0810}{17,7228}\approx 3,6979
Im Graph schaut das so aus:
84-11 4.jpg Es geht weiter mit f(x_2)\approx 1,9654 und f'(x_2)\approx 9,6146 und x_3=3,6979-\frac{1,9654}{9,6146}=3,4235 und
f(x_3)\approx 0,2830 und f'(x_3)\approx 6,9374 und x_4=3,4235-\frac{0,2830}{6,9374}=3,3827 und
f(x_4)\approx 0,00965 und f'(x_4)\approx 6,4675 und x_5=3,3827-\frac{0,00965}{6,4675}=3,3812
Damit ändert sich auf zwei Nachkommastellen die Nullstelle nicht mehr, es ist also  x \approx 3,38

Mit einer Tabellenkalkulation geht es natürlich viel schneller und übersichtlicher.
Das schöne dabei ist, dass man den Startwert leicht ändern und in einer Tabelle die Annäherung an die Nullstelle gut nachvollziehen kann.
Wieso geht <0 = 2 nicht als Startwert?
Bei Startwerten x0 > 1 kommt man stets zu unserer Nullstelle  x \approx 3,38.

Beim Startwert x0> = -2 kommt man zur anderen Nullstelle  x \approx -1,04