M11 Der Wahrscheinlichkeitsbegriff

Ein wichtiger Begriff bei Berechnungen ist die Laplace-Wahrscheinlichkeit. Laplace führte bei gleichwahrscheinlichen Ergebnissen die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E aals

       Anzahl der für E günstigen Ergebnisse
P(E)= ---------------------------------------
       Anzahl aller Ergebnisse

Als Eigenschaften der Laplace-Wahrscheinlichkeit erhält man:

1. $P(E) \ge 0$

2. $P(\Omega)=1$

3. Sind zwei Ereignisse A und B unvereinbar $A \cap B=\lbrace \rbrace$, dann ist $P(A \cup B)=P(A)+P(B)$.

Merke Zwei Ereignisse Ereignisse A und B heißen unvereinbar, wenn $A \cap B=\lbrace \rbrace$ ist.

Über 200 Jahre später definierte Kolmogorow Wahrscheinlichkeiten über seine Axiome zur Wahrscheinlichkeitsfunktion.

Merke: Axiomensystem von Kolmogorow Eine Funktion P, die jeder Teilmenge E einer Ergebnismenge $\Omega$ eine reelle Zahle P(E) zuordnet heißt Wahrscheinlichkeitsfunktion oder Wahrschlichkeitsverteilung, wenn die drei Bedingungen erfüllt sind: 1. $P(E) \ge 0$ 2. $P(\Omega) = 1$ 3. $P(E_1 \cup E_2) = P(E_1)+P(E_2)$, wenn $E_1\cap E_2 = \lbrace \rbrace$

Was macht man, wenn $A$ und $B$ nicht unvereinbar sind?

Das Ereignisdiagramm schaut dann so aus:

Hier sieht man, dass in der Schnittmenge $A \cap B$ alle Elemente sind, die sowohl in $A$ als auch in $B$ vorkommen. In der Vereinigungsmenge $A \cup B$ werden diese Elemente für P(A) und P(B) jeweils gezählt, sie werden doppelt gezählt. Um dies zu korrigieren, muss man die Elemente der Schnittmenge einmal abziehen.

Merke Für Ereignisse A und B, die nicht unvereinbar sind ($A\cap B\ne \lbrace \rbrace$) gilt: $P(A\cup B)=P(A) + P(B) - P(A\cap B)$