M11 Der Wahrscheinlichkeitsbegriff

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Ein wichtiger Begriff bei Berechnungen ist die Laplace-Wahrscheinlichkeit. Laplace führte bei gleichwahrscheinlichen Ergebnissen die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E aals

       Anzahl der für E günstigen Ergebnisse
P(E)= ---------------------------------------
       Anzahl aller Ergebnisse


Als Eigenschaften der Laplace-Wahrscheinlichkeit erhält man:

1. P(E) \ge 0

2. P(\Omega)=1

3. Sind zwei Ereignisse A und B unvereinbar A \cap B=\lbrace \rbrace \rbrace, dann ist P(A \cup B)=P(A)+P(B).

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Zwei Ereignisse Ereignisse A und B heißen unvereinbar, wenn A \cap B=\lbrace \rbrace ist.


Über 200 Jahre später definierte Kolmogorow Wahrscheinlichkeiten über seine Axiome zur Wahrscheinlichkeitsfunktion.

Maehnrot.jpg
Merke:

Axiomensystem von Kolmogorow

Eine Funktion P, die jeder Teilmenge E einer Ergebnismenge \Omega eine reelle Zahle P(E) zuordnet heißt Wahrscheinlichkeitsfunktion oder Wahrschlichkeitsverteilung, wenn die drei Bedingungen erfüllt sind:

1. P(E) \ge 0

2. P(\Omega) = 1

3.  P(E_1 \cup E_2) = P(E_1)+P(E_2), wenn E_1\cap E_2 = \lbrace \rbrace

Man sieht, dass die Axiome von Kolmogorow sich sehr stark an die Eigenschaften der Laplace-Wahrscheinlichkeiten anlehnen. Nur geht es hier um die geforderten Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeitsfunktion P, die hiermit jedem Ereignis eine Wahrscheinlichkeit P(E) zuordnet. Die Funktion P muss diese drei Axiome erfüllen, dann ist sie eine Wahrscheinlichkeitsfunktion.

Beispiele: 1. Werfen eines Laplace-Würfels
Die Wahrscheinlichkeiten beim Laplace-Würfel für die möglichen Ergebnisse 1, 2, 3, 4, 5, 6 sind jeweils P(\lbrace 1  \rbrace)= P(\lbrace 2 \rbrace)=P(\lbrace 3 \rbrace)=P(\lbrace 4 \rbrace)=P(\lbrace 5 \rbrace)=P(\lbrace 6 \rbrace)=\frac{1}{6}
Die Axiome von Kolmogorow sind erfüllt:
1. p(E) \ge 0
2. P(\Omega)=P(\lbrace 1,2,3,4,5,6 \rbrace)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=1
3. Die Ergebnisse sind unvereinbare Ereignisse, es gilt hier die Summenformel.
Also hat man eine Wahrscheinlichkeitsfunktion P, die jedem Ergebnis (Elementarereignis) die Wahrscheinlichkeit \frac{1}{6} zuordnet.

2. Werfen eines "gezinkten" Würfels
Man hat einen Würfel mit den Augenzahlen 1,2,3,4,5,6 und P(\lbrace 1  \rbrace)= P(\lbrace 2 \rbrace)=P(\lbrace 3 \rbrace)=P(\lbrace 4 \rbrace)=P(\lbrace 5 \rbrace)=0,1 und P(\lbrace 6 \rbrace)=0,5
Auch hier sind die Axiome von Kolmogorw erfüllt:
1. P(E)\ge 0
2.  P(\Omega)=P(\lbrace 1,2,3,4,5,6 \rbrace)=0,1+0,1+0,1+0,1+0,1+0,5=1
3. Die Ergebnisse sind unvereinbare Ereignisse, es gilt hier die Summenformel.

3. Werfen eines "exotischen Würfels"
Man hat einen Würfel mit den Augenzahlen 1,2,3,4,5,6 und P(\lbrace 1  \rbrace)= P(\lbrace 2 \rbrace)=P(\lbrace 3 \rbrace)=P(\lbrace 4 \rbrace)=P(\lbrace 5 \rbrace)=0,15 und P(\lbrace 6 \rbrace)=0,2
Hier ist das 2. Axiom von Kolmogorw nicht erfüllt:
2.  P(\Omega)=P(\lbrace 1,2,3,4,5,6 \rbrace)=0,15+0,15+0,15+0,15+0,15+0,2=0,95
P ist keine Wahrscheinlichkeitsfunktion. Diesen Würfel gibt es nicht!


Was macht man, wenn A und B nicht unvereinbar sind?

Das Ereignisdiagramm schaut dann so aus:
Schnittmenge.jpg
Hier sieht man, dass in der Schnittmenge A \cap B alle Elemente sind, die sowohl in A als auch in B vorkommen. In der Vereinigungsmenge A \cup B werden diese Elemente für P(A) und P(B) jeweils gezählt, sie werden doppelt gezählt. Um dies zu korrigieren, muss man die Elemente der Schnittmenge einmal abziehen.

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Für Ereignisse A und B, die nicht unvereinbar sind (A\cap B\ne \lbrace \rbrace) gilt:

P(A\cup B)=P(A) + P(B) - P(A\cap B)