M11 Die Ableitung der Umkehrfunktion: Unterschied zwischen den Versionen
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+ | {{Aufgaben-blau|2|2=1. Bestimmen Sie die Ableitung der Umkehrfunktion <math>f^{-1}</math> zur Funktion <math>f:x \to x^5-1</math> mit D = R. | ||
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+ | 2. Bestimmen Sie allgemein <br> | ||
+ | a) die Umkehrfunktion <math>f^{-1}</math>zur Potenzfunktion <math>f : x \to x^n</math> mit n <math>\in</math> N, D = <math>R_0^+</math>. <br> | ||
+ | b) die Ableitungsfunktion der Umkehrfunktion <math>f^{-1}</math>. }} | ||
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+ | {{Lösung versteckt|1=In D = R ist <math>f</math> streng monoton steigend, also umkehrbar. <br> | ||
+ | * In der Funktionsgleichung <math>y = x^5 -1</math> werden x und y vertauscht:<br> | ||
+ | <center><math>x = y^5 -1</math></center> | ||
+ | * Die Gleichung <math>x = y^5 -1</math> wird nach y aufgelöst:<br> | ||
+ | <math>y = \sqrt [5]{x+1}</math> und die Umkehrfunktion ist <math>f^{-1}:x \to \sqrt [5]{x+1}</math> | ||
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+ | Es ist <math>f'(x) = 5x^4</math>.<br> | ||
+ | Damit erhält man <math>f^{-1'}(x)= \frac{1}{5(f^{-1}(x))^4} = \frac{1}{5 \cdot (\sqrt [5]{x+1})^4} = \frac{1}{5\cdot (x+1)^{\frac{4}{5}}}=\frac{1}{5}\cdot (x+1)^{-\frac{4}{5}}</math>, das ist der Term, den man auch mit der Potenzregel erhält. | ||
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+ | 2. a) Die Definitionsmenge der Funktion f ist bereits so, dass f dort streng monoton ist. <br> | ||
+ | Die Umkehrung des Potenzierens ist das Wurzelziehen, also ist die Umkehrfunktion eine Wurzelfunktion. <br> | ||
+ | * In der Funktionsgleichung y = f(x) werdem x und y vertauscht:<br> | ||
+ | <center><math>x = y^n</math></center> <br> | ||
+ | * Die Gleichung <math>x = y^n</math> nach y auflösen ergibt <math>y = \sqrt [n]{x}</math><br> | ||
+ | Also ist die Umkehrfunktion <math>f^{-1}:x \to \sqrt [n]{x}</math> mit n <math>\in</math> N, D = <math>R_0^+</math>. | ||
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+ | Die Ableitung erhält man mit <math>f^{-1'}(x)= \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}</math>.<br> | ||
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+ | b) Die Ableitung der Umkehrfunktion <math>f^{-1}</math> erhält man durch <math>f^{-1'}(x)= \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}</math>.<br> | ||
+ | Also muss man zuerst <math>f</math> ableiten. Es ist <math>f'(x)=n\cdot x^{n-1}</math>.<br> | ||
+ | Hiervon muss man den Kehrwert bilden <math>\frac{1}{n\cdot x^{n-1}}</math> und statt x setzt man <math>f^{-1}(x)</math> ein. Mit <math> f^{-1}(x) = \sqrt [n]{x}</math> erhält man<br> | ||
+ | <math>f^{-1'}(x)=\frac{1}{n \cdot (\sqrt [n]{x})^{n-1} } = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{x^{\frac{n-1}{n}}}</math> | ||
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+ | Jetzt weiß man vom Ableiten von Potenzen, dass <math>(x^{\frac{1}{n}})' =\frac{1}{n}\cdot x^{\frac{1}{n}-1}</math> ist. Den Exponent von x kann man umformen <math>\frac{1}{n} - 1 = \frac{1-n}{n}=-\frac{n-1}{n}</math> und das ist der Exponent von x in <math>f^{-1'}</math>. }} |
Version vom 18. März 2021, 11:45 Uhr
Wiederholung
Die Funktion hat die Umkehrfunktion .
In der 9. Klasse hatte man die Quadratfunktion mit D = R. Die Umkehrung des Quadrierens ist das Wurzelziehen und man hatte die Wurzelfunktion als Umkehrfunktion der Quadratfunktion. Die Wurzelfunktion ist mit D = .
Merke:
Eine Funktion ist im Intervall [a;b] umkehrbar, wenn in dem Intervall [a;b] streng monoton ist. |
Die strenge Monotonie erhält man mit Hilfe der Ableitung von f.
Die Umkehrfunktion zu einer Funktion findet man immer mit diesen Schritten: 1. Schränke die Definitionsmenge von so ein, dass streng monoton ist. 2. Löse die Funktionsgleichung y = f(x) nach x auf. 3. Vertausche x und y. 4. Die Definitionsmenge der eingeschränkten Funktion ist die Wertemenge der Umkehrfunktion und die Wertemenge von ist die Definitionsmenge von . Man erhält den Graphen der Umkehrfunktion durch Spiegelung des Graphen der Funktion an der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten. |
Auf dieser Seite wird dies an Beispielen erklärt.
Hier sind auch Beispiele ohne Berücksichtigung der Definitionsmenge.
Die Ableitung der Umkehrfunktion
Die Umkehrfunktion macht die Wirkung der Funktion rückgängig. Es ist , wenn x positiv ist. Da die Quadratfunktion beim Bilden der Umkehrfunktion auf D = eingeschränkt wurde. die die x positiv und die Umkehrung ist in Ordnung.
Wenn man die Verkettung betrachtet, dann ist , da die Verkettung der beiden Funktionen ihre Wirkungen aufheben und man erhält wieder x.
Nun ist .
Ersetzt man , dann ist . Dabei ist .
Also ist und . Ersetzt man wieder z durch , dann hat man wegen die Ableitung der Umkehrfunktion
Merke:
Die Ableitung der Umkehrfunktion der Funktion ist |
Beispiele:
1. Die Quadratfunktion hat die Umkehrfunktion (mit passenden Definitionsmengen, die hier nicht interessieren)
Dabei ist und .
Desweiteren ist .
Nun ist
2. Die Funktion mit D = R ist eine quadratische Funktion, deren Graph den Scheitel bei (0,5; 1,5) hat. Der Graph ist eine nach oben geöffnete Parabel. Die Funktion ist für x [0,5;[ streng monton zunehmend. Die Wertemenge ist W = [1,5;[
Die Umkehrfunktion erhält man, indem man die Gleichung y = (x-0,5)2 + 1,5
1. nach x auflöst.
und dann
2. x und y vertauscht
Also ist die Umkehrfunktion mit D = [1,5;[ und W = [0,5;[.
Der Funktionsterm der Funktion lässt sich umformen in und hat die Ableitung .
Ist , dann ist die Ableitung der Umkehrfunktion
In D = R ist streng monoton steigend, also umkehrbar.
- In der Funktionsgleichung werden x und y vertauscht:
- Die Gleichung wird nach y aufgelöst:
und die Umkehrfunktion ist
Es ist .
Damit erhält man , das ist der Term, den man auch mit der Potenzregel erhält.
2. a) Die Definitionsmenge der Funktion f ist bereits so, dass f dort streng monoton ist.
Die Umkehrung des Potenzierens ist das Wurzelziehen, also ist die Umkehrfunktion eine Wurzelfunktion.
- In der Funktionsgleichung y = f(x) werdem x und y vertauscht:
- Die Gleichung nach y auflösen ergibt
Also ist die Umkehrfunktion mit n N, D = .
Die Ableitung erhält man mit .
b) Die Ableitung der Umkehrfunktion erhält man durch .
Also muss man zuerst ableiten. Es ist .
Hiervon muss man den Kehrwert bilden und statt x setzt man ein. Mit erhält man