M11 Die Kettenregel

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Die Ableitung einer Funktion f, die die Verkettung der Funktionen u und v ist, erhält man mit der Kettenregel. Es ist f(x)=u \circ v(x)=u(v(x)).
Nach der Definition der Ableitung ist f'(x_0)=\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.
Nun muss man dabei beachten was die Funktionen u und v dabei machen.
Wenn x \to x_0 ist, dann ist v(x) \to v(x_0).
v(x), v(x_0) sind die Argumente, die in u eingesetzt werden. Dabei ist dann, wenn v(x) \to v(x_0) ist , auch u(v(x)) \to u(v(x_0)).

Damit kann man den Differenzenquotienten schreiben:
\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\frac{u(v(x)-u(v(x_0))}{x-x_0}=\frac{u(v(x)-u(v(x_0))}{v(x)-v(x_0)}\cdot \frac{v(x)-v(x_0)}{x-x_0}.
Beim letzten Term stimmt der Nenner des ersten Bruches mit den Zähler des 2. Bruches überein.
Der erste Bruch \lim_{x \to x_0}\frac{u(v(x)-u(v(x_0))}{v(x)-v(x_0)} bedeutet, dass man u nach v(x) ableitet und der zweite Bruch \lim_{x \to x_0}\frac{v(x)-v(x_0)}{x-x_0} bedeutet, dass man v nach x ableitet.

Also hat man f'(x)=(u\circ v)'(x)=(u(v(x))'=u'(v)\cdot v'(x).

Maehnrot.jpg
Merke:

Kettenregel

f'(x)=(u\circ v)'(x)=(u(v(x))'=u'(v)\cdot v'(x).

Man leitet zuerst die äußere Funktion ab und multipliziert mit der Ableitung der inneren Funktion. Dies nennt man Nachdifferenzieren.


Beispiele:
1.Wir nehmen das Anfangsbeispiel der Seite M11_Verkettung_von_Funktionen
Es ist f(x)= \sqrt {x^2+1}. Dabei ist u(v)=\sqrt v die Funktionsgleichung der äußeren Funktion. Das Argument der Funktion u wurde mit v bezeichnet, damit man sieht, dass die Variable von u nun v (eigentlich v(x)) ist.
Die innere Funktion hat die Funktionsgleichung v(x)=x^2+1.
Für die Ableitung f' der Funktion f differenziert man die äußere Funktion u nach v. Also ist u'(v)=\frac{1}{2\sqrt v} und multipliziert dieses Ergebnis mit der Ableitung der inneren Funktion u nach x, also mit  u'(x) = 2x.
Insgesamt erhält man nun f'(x)=u'(v)\cdot u'(x)=\frac{1}{2\sqrt v} \cdot 2x = \frac{2x}{2\sqrt v}. Nun ersetzt man wieder v durch x^2+1 und kürzt 2, dann ist das Ergebnis

f'(x)=\frac{2x}{2\sqrt {x^2+1}}.

2. f mit f(x)=(5x^2 -3)^{2021} ist die Verkettung der Funktion u mit u(v)=v^{2021} mit der Funktion v mit v(x)=5x^2 -3.
Die Ableitung von u(v)=v^{2021} ist u'(v)=2021v^{2020} (Ableitung der äußeren Funktion)
und die Ableitung von v(x)=5x^2 -3 ist v'(x)=10x (Ableitung der inneren Funktion).
Die Ableitungsfunktion f' erhält man durch f'(x)= u'(v) \cdot v'(x)= 2021v^{2020} \cdot 10x.
Nun ersetzt man weider v durch 5x^2 -3 und hat dann die Ableitung der Funktion f

f'(x) = 2021(5x^2-3)^{2020}\cdot 10x=20210x(5x^2-3)^{2020}.

Und das ging doch deutlich besser als die Potenz (5x^2 -3)^{2021} auszurechnen und ein Polynom vom Grad 2021 abzuleiten!

Man kann die Schreibweise auch verkürzen, indem man die Schreibweise mit "v" weglässt und gleich nur mit den Funktionen von x schreibt. Dabei wird gleich v durch den Funktionsterm v(x) ersetzt.
Das Beispiel 1 ergibt dann f'(x)=\frac{1}{2\sqrt {x^2+1}}\cdot 2x = \frac{2x}{\sqrt {x^2+1}}.
Das Beispiel 2 schreibt sich dann f'(x)=2021(5x^2-3)^{2020} \cdot 10x = 20210x(5x^2-3)^{2020}.


Schauen Sie sich auch die Beispiele 2 bis 4 im Buch auf S. 130 an. Beim Beispiel 3 kann man das Quadrat ausrechnen und ableiten. Man erhält das gleiche Ergebnis, wie wenn man den ursprünglichen Term mit der Kettenregel ableitet.
Das Beispiel 4 verdeutlicht die Auswirkung auf die Definitionsmenge, was sehr selten vorkommt.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

Buch S. 131 / 4

{{Lösung versteckt|1=a) f'(x)=2(1+3x^2)\cdot 6x=12x(1+3x^2) und f'(2)=312
b) f'(x)=2(1-x^4)\cdot 4x^3 =8x^2(1-x^4) und f'(1)=0
c) f'(x)=2(1+2x+x^2)\cdot (2+2x)=(4+4x)(1+2x+x^2) und f'(-1)=0
d) f'(x)=2(1-5x)\cdot (-5) = -10+50x und f'(0)=-10
e) f'(x)=2(x^5+1)\cdot 5x^4=10x^4(x^5+1) und f'(-1)=0
f) Hier berechnet man zuerst in der runden Klammer (3x)2 = 9x2 und leitet dann (x-9x^2)^2 ab.
f'(x)=2(x-9x^2)\cdot (1-18x) und f'(2)=2380
g) f'(x)=2(2x+\frac{1}{4x})\cdot (2 - \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{x^2}) und f'(0,5)=3
h) f'(x)=-2\frac{1}{(1+4x)^3}\cdot 4 =-\frac{8}{(1+4x)^3} und f'(0,5)=\frac{8}{27}