M11 Skalarprodukt

In Physik hat man gelernt, dass Arbeit W das Produkt aus der Kraft F, die in Wegrichtung entlang des Weges s wirkt. Man schreibt dann W = F·s. Was macht man aber, wenn man einen Leiterwagen zieht?

Nach unserer Arbeitsdefinition muss man den Wagen so wie er abgebildet ist nach vorne ziehen. Dazu muss man sich bücken und es ist sehr unbequem. Man wird den Handgriff hochnehmen, aber dann wirkt die Kraft nicht mehr in Wegrichtung sondern ist schräg dazu. Wie macht sich das dann in der Arbeit bemerktbar?
Man löst das, indem man die Kraftkomponente F_s in Wegrichtung betrachtet und damit die Arbeit Arbeit W = F_s·s berechnet.

F_s ist die senkrechte Projektion von F auf die Fahrtrichtung.

In der Mathematik führt man hierzu das Skalarprodukt ein, dies wird dann in der Physik auch verwendet und man sagt dann, dass die Arbeit W das Skalarprodukt des Kraftvektors $\vec F$ mit dem Wegvektor $\vec s$ ist, also $W = \vec F \cdot \vec s$ oder ohne Vektoren $W = F\cdot s \cdot cos(\varphi)$.

Merke: Für die Vektoren $\vec a=\left ( \begin{array}{c} a_1 \\\ a_2 \\\ a_3 \end{array}\right)$ imd $\vec b=\left ( \begin{array}{c} b_1 \\\ b_2 \\\ b_3 \end{array}\right)$ definiert man das Skalarprodukt $\vec a \cdot \vec b = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$. Das Ergebnis des Skalarprodukts $\vec a \cdot \vec b$ ist eine Zahl (ein Skalar). Es ist $\vec a \cdot \vec b = \left ( \begin{array}{c} a_1 \\\ a_2 \\\ a_3 \end{array}\right) \cdot \left ( \begin{array}{c} b_1 \\\ b_2 \\\ b_3 \end{array}\right) = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$. Es ist weiterhin, wenn $\varphi$ der Winkel zwischen den Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ ist $\vec a \cdot \vec b =|\vec a||\vec b|cos(\varphi)$

Eine Herleitung der letzten Formel finden Sie im Buch auf Seite 109 oben.

Merke: Dies führt zur Definition des Winkels. Der Winkel $\varphi$ der Winkel zwischen den Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ ist gegeben durch $cos \varphi =\frac{\vec a \cdot \vec b}{|\vec a||\vec b|} = \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3}{|\vec a||\vec b|}$