M11 Vektorprodukt bei der Volumenberechnung

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Kalkspat hat eine besondere Form. Calcite-HUGE.jpg Calcite.jpg Fluorescence in calcite.jpg
Diesen Effekt nennt man Doppelbrechung

Der Körper

Parallelepiped-0.svg

wird deshalb auch als Spat bezeichnet. Eigentlich heißt er Parallelepiped. Das ist Spat doch einfacher zu merken. Man kann sich vorstellen, dass ein Spat entsteht, wenn man einen Quader nach rechts und nach hinten deformiert.

Wie einen Quader kann man einen Spat durch Vektoren erzeugen.

Parallelepiped-v.svg

Das Spatvolumen ist nun nach dem Prinzip von Cavalieri V = Gh, wobei G der Flächeninhalt der Grundfläche ist und h die Höhe des Spats. Den Flächeninhalt der Grundfläche bekommt man mit dem Vektorprodukt G=|\vec a \times \vec b|. Man weiß auch, dass das Vektorprodukt \vec a \times \vec b ein Vektor ist, der senkrecht zur den Vektoren \vec a und \vec b steht.
Die Richtung der Höhe ist dieselbe wie die Richtung des Vektors \vec a \times \vec b, beide stehen senkrecht zur Grundfläche.
Aus dem Bild sieht man, dass h = c\cdot cos \theta ist (,wenn c=|\vec c| ist).
Es ist also V = G\cdot h = G \cdot c \cdot cos \theta.
Ersetzt man nun G durch G=|\vec a \times \vec b|, dann ist V=|\vec a \times \vec b|\cdot |\vec c| cos \theta und nach der Definition des Skalarprodukts V = (\vec a \times \vec b) \circ \vec c. Da das Skalarprodukt auch negativ sein kann nimmt man für das Volumen den Betrag, also V = |(\vec a \times \vec b) \circ \vec c|.

Maehnrot.jpg
Merke:

Das Produkt (\vec a \times \vec b) \circ \vec c heißt Spatprodukt.

Das Volumen des Spats, der von den Vektoren \vec a, \vec b und \vec c aufgespannt wird,ist V = |(\vec a \times \vec b) \circ \vec c|.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

Gegeben sind die drei Vektoren \vec a= \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 8 \\\ 0  \end{array}\right), \vec b =  \left ( \begin{array}{c} -4 \\\ 2 \\\ 1  \end{array}\right) und \vec c= \left ( \begin{array}{c} -4 \\\ 2 \\\ 6  \end{array}\right).

Parallelepiped-v.svg

Berechne a) (\vec a \times \vec b)\circ \vec c
b) (\vec b \times \vec c)\circ \vec a
c) (\vec c \times \vec a) \circ \vec b

a) (\vec a \times \vec b)\circ \vec c = \left [\left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 8 \\\ 0  \end{array}\right)\times  \left ( \begin{array}{c} -4 \\\ 2 \\\ 1  \end{array}\right) \right ] \circ \left ( \begin{array}{c} -4 \\\ 2 \\\ 6  \end{array}\right) = \left ( \begin{array}{c} 8 \\\ -2 \\\ 36  \end{array}\right) \circ \left ( \begin{array}{c} -4 \\\ 2 \\\ 6  \end{array}\right)=-32-4+216=180
b) (\vec b \times \vec c)\circ \vec a=\left [ \left ( \begin{array}{c} -4 \\\ 2 \\\ 1  \end{array}\right) \times \left ( \begin{array}{c} -4 \\\ 2 \\\ 6  \end{array}\right) \right ] \circ \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 8 \\\ 0  \end{array}\right)= \left ( \begin{array}{c} 10 \\\ 20 \\\ 0  \end{array}\right) \circ \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 8 \\\ 0  \end{array}\right) =20+160=180

c) (\vec c \times \vec a) \circ \vec b=\left [ \left ( \begin{array}{c} -4 \\\ 2 \\\ 6  \end{array}\right) \times \left ( \begin{array}{c} 2 \\\ 8 \\\ 0  \end{array}\right) \right ] \circ  \left ( \begin{array}{c} -4 \\\ 2 \\\ 1  \end{array}\right)=  \left ( \begin{array}{c} -48 \\\ 12 \\\ -36  \end{array}\right) \circ  \left ( \begin{array}{c} -4 \\\ 2 \\\ 1  \end{array}\right) = 192+24-36=180
Nuvola apps kig.png   Merke

Wichtig ist, dass man einen Eckpunkt nimmt. Es ist egal welchen. Für die Berechnung des Volumens nimmt man die drei Vektoren, die von diesem Eckpunkt weggehen.

Für die Berechnung des Volumens ist auch die Reihenfolge wie man die Vektoren in die Gleichung für das Spatvolumen einsetzt, egal. Da man am Ende den Betrag nimmt, kommt stets ein positives Volumen heraus.