M11 Verkettung von Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 1. März 2021, 14:48 Uhr

Die Funktion $f:x \rightarrow \sqrt {x^2+1}$ ist eine in ganz R definierte Funktion.

Am Graph sieht man, dass im Punkt (0;1) eine waagrechte Tangente y = 1 vorhanden ist. Bei x = -20 oder x = -10 ist die Steigung -1 und bei x = 10 und x = 20 ist die Steigung 1.

Doch wie soll man $\sqrt {x^2+1}$ ableiten?

Dazu müssen wir die Verknüpfung zweier Funktionen um die Verkettung erweitern. Bisher kennen wir als Verknüpfung zweier Funktiongen f und g

die Summe f + g
die Differenz f - g
die Multiplikation f · g und
die Division $\frac{f}{g}$

Nun kommt noch die Verkettung $f \circ g$ dazu.

Merke:

Bei der Verkettung (Hintereinanderausführung) $u \circ v$ der Funktionen $u$ und $v$ wird zuerst die Funktion $v$ ausgeführt und danach die Funktion $u$ .
Es ist $u \circ v: x \rightarrow u(v(x))$ .

Für unser Beispiel $f:x \rightarrow \sqrt {x^2+1}$ betrachten wir die Funktionen $u:x\rightarrow \sqrt x$ und $v:x\rightarrow x^2+1$ . Es ist $u(x) = \sqrt x, v(x) = x^2+1$ .
Setzt man nun $v(x)$ an die Stelle von $x$ in der Funktion $u$ , dann hat man $u \circ v (x) = u(v(x))=\sqrt {x^2+1}$ und $f$ ist die Verkettung $u \circ v$ der Funktionen $u$ und $v$ , also $f = u\circ v$ .

Merke:

Bei der Verkettung $u \circ v$ der Funktionen $u$ und $v$ , die durch $u \circ v(x) = u(v(x))$ gegeben ist, heißt $u$ die äußere Funktion und $v$ die innere Funktion.

Die innere Funktion ist das Argument der äußeren Funktion.

Als neue Verknüpfung für die Funktionen $f$ und $g$ wurde die Verkettung $f \circ g$ eingeführt. Dies geht natürlich genauso, dann übernimmt $g$ die Rolle der inneren Funktion und $f$ die Rolle der äußeren Funktion.
Im folgenden Video wird auch die Schreibweise $f \circ g$ dargestellt.

Beispiele: 1. Für die Funktionen $u$ mit $u(x)=x^2 + 5$ und $v$ mit $v(x)=3x -2$ ist

$u \circ v$ durch $u(v(x))=(3x-2)^2 +5$ gegeben. (In der Funktion u ersetzt man x durch den Term von v(x).)
$v \circ u$ durch $v(u(x))=3(x^2+5) -2$ . (In der Funktion v ersetzt man x durch den Term von u(x).)

Natürlich vereinfacht man noch die Terme. Es ist dann $u(v(x))=(3x-2)^2 +5=9x^2-12x + 9$ und $v(u(x))=3(x^2+5) -2=3x^2+13$ .

Insbesondere sieht man, dass die Verkettung nicht kommutativ ist. $u \circ v(x) \ne v \circ u(x)$ .

2. Für die Funktionen $u$ mit $u(x)=2 + 3x$ und $v$ mit $v(x)=\frac{1}{x^2+1}$ ist

$u \circ v$ durch $u(v(x))=2 + \frac{3}{x^2+1}$ gegeben. (In der Funktion u ersetzt man x durch den Term von v(x).)
$v \circ u$ durch $v(u(x))=\frac{1}{(2+3x)^2 +1}$ . (In der Funktion v ersetzt man x durch den Term von u(x).)

3. Für die Funktionen $u$ mit $u(x)=\sqrt x$ und $v$ mit $v(x)=\frac{3}{x-2}$ ist

$u \circ v$ durch $u(v(x))=\sqrt {\frac{3}{x-2}}$ gegeben.
$v \circ u$ durch $v(u(x))=\frac{3}{\sqrt x -2}$ .

Aufgabe 1

Buch S. 130 / 1

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

a) $f(x) = u(v(x))=\frac{1}{2x+4}$ und $g(x)=v(u(x))=\frac{2}{x} +4$

b) $f(x) = u(v(x))=cos[(x+1)^2]$ und $g(x)=v(u(x))=(cos x +1)^2$

c) $f(x) = u(v(x))=sin(2x^2)$ und $g(x)=v(u(x))=[sin(2x)]^2$

d) $f(x) = u(v(x))=2^(x-1)$ und $g(x)=v(u(x))=2^x -1$

e) $f(x) = u(v(x))=\frac{1}{(\sqrt{2x^2})^2}=\frac{1}{2x^2}$ und $g(x)=v(u(x))=\sqrt {2 \left ( \frac{1}{x^2} \right )^2}=\frac{\sqrt 2}{x^2}$

f) $f(x) = u(v(x))=cos(\pi (x+2))$ und $g(x)=v(u(x))=cos(\pi x) +2$

g) $f(x) = u(v(x))=2(2x^2)^2 =8 x^4= v(u(x))=g(x)$

h) $f(x) = u(v(x))=\sqrt {\sqrt{x^2+1}^2+1}= \sqrt{x^2+2}=g(x)$

Oftmals kann man auch eine Funktion $f$ als Verkettung zweier Funktionen $u$ und $v$ schreiben.
1. Die Funktion $f$ mit $f(x)=\sqrt {x^2+1}$ ist die Verkettung $u \circ v$ mit den Funktionen $u$ mit $u(x) = \sqrt x$ und $v$ mit $v(x) = x^2+1$ .

2. $f(x)=(1+x)^4$ ist $f(x)= u \circ v(x)$ mit $u(x) = x^4$ und $v(x) = 1+x$ .

3. $f(x)=\sqrt {2(x^2+7)}$ ist $f(x)= u \circ v(x)$ mit

$u(x) = \sqrt x$ und $v(x) = 2(x^2+7)$ oder
$u(x) = \sqrt {2x}$ und $v(x) = x^2+7$ .

Aufgabe 2

Buch S. 130 / 2

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Es ist $f = u \circ v$ mit
a) $u$ mit $u(x) = x^4$ und $v$ mit $v(x) = 1-x$
b) $u$ mit $u(x) = log(x)$ und $v$ mit $v(x) = x^2+1$
c) $u$ mit $u(x) = x^2$ und $v$ mit $v(x) = \frac{x+1}{x-2}$

d) $u$ mit $u(x) = \sqrt x$ und $v$ mit $v(x) = x-1$

Aufgabe 3

Man muss eventuell auf die Definitionsmenge der Verkettungsfunktion achten und diese neu bestimmen.
Buch S. 131 / 3

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Man hat die Funktionen $u$ mit $u(x) = \sqrt{x+1}$ und $v$ mit $v(x) = x^2-4$ . Die Definitionsmenge für $u$ ist D_u = [-1; $\infty$ [, die Definitionsmenge für $v$ ist D_v = R.
Die Funktion $f$ mit $f(x)=u(v(x))=\sqrt {x^2-4 +1}=\sqrt {x^2-3}$ hat als Definitionsmenge D_f = $]-\infty;.\sqrt 3]\cup [\sqrt 3;\infty[$ .
Die Funktion $g$ mit $g(x)=v(u(x)=(\sqrt {x+1})^2-4=x+1-4=x-3$ hat als Definitionsmenge D_g=[-1; $\infty$ [. Hierzu muss man beachten, dass man ja x zuerst in u einsetzt. Da darf man nur Zahlen, die größer oder gleich -1 sind einsetzen. Man erhält für u(x) eine Zahl, die größer oder gleich 0 ist. Diese Zahl u(x) wird dann in v eingesetzt.
Von den Zahlen -2, $-\sqrt 3$ , -1, 0, 1, 2, 3 gehören zur

Definitionsmenge von f die Zahlen -2, $-\sqrt 3$ , 2, 3.
Definitionsmenge von G die Zahlen -1, 0, 1, 2, 3.

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 Die Funktion <math>f:x \rightarrow \sqrt {x^2+1}</math> ist eine in ganz R definierte Funktion.
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-Am Graph sieht man, dass im Punkt (0;1) eine waagrechte Tangente y = 1 vorhanden ist. <br>
+Am Graph sieht man, dass im Punkt (0;1) eine waagrechte Tangente y = 1 vorhanden ist. Bei x = -20 oder x = -10 ist die Steigung -1 und bei x = 10 und x = 20 ist die Steigung 1. <br>
-Doch wie soll man <math>\sqrt {x^2+1}</math> ableitgen?<br>
+Doch wie soll man <math>\sqrt {x^2+1}</math> ableiten?<br>
 Dazu müssen wir die Verknüpfung zweier Funktionen um die '''Verkettung''' erweitern. Bisher kennen wir als Verknüpfung zweier Funktiongen f und g<br>
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 Nun kommt noch die Verkettung <math> f \circ g</math> dazu.
 {{Merksatz|MERK=Bei der Verkettung (Hintereinanderausführung) <math> u \circ v</math>  der Funktionen <math>u</math> und <math> v</math> wird zuerst die Funktion <math>v</math> ausgeführt und danach die Funktion <math>u</math>. <br>
 Es ist <math>u \circ v: x \rightarrow u(v(x))</math>. }}
 Für unser Beispiel <math>f:x \rightarrow \sqrt {x^2+1}</math> betrachten wir die Funktionen <math>u:x\rightarrow \sqrt x</math> und <math>v:x\rightarrow x^2+1</math>. Es ist <math> u(x) = \sqrt x, v(x) = x^2+1</math>. <br>
 Setzt man nun <math>v(x)</math> an die Stelle von <math>x</math> in der Funktion <math>u</math>, dann hat man <math>u \circ v (x) = u(v(x))=\sqrt {x^2+1}</math> und <math>f</math> ist die Verkettung <math>u \circ v</math> der Funktionen <math>u </math> und <math> v</math>, also <math> f = u\circ v</math>.
+{{Merksatz|MERK=Bei der Verkettung <math> u \circ v</math> der Funktionen <math>u</math> und <math> v</math>, die durch  <math>u \circ v(x) = u(v(x))</math> gegeben ist, heißt <math>u</math> die '''äußere Funktion''' und <math>v</math> die '''innere Funktion'''.
+Die innere Funktion ist das Argument der äußeren Funktion.}}
+Als neue Verknüpfung für die Funktionen <math>f</math> und <math>g</math> wurde die Verkettung  <math>f \circ g</math> eingeführt. Dies geht natürlich genauso, dann übernimmt <math>g</math> die Rolle der inneren Funktion und <math>f</math> die Rolle der äußeren Funktion. <br>
+Im folgenden Video wird auch die Schreibweise <math>f \circ g</math> dargestellt.
+<center>{{#ev:youtube |y7MmgAdibnY|350}}</center>
+Beispiele: 1. Für die Funktionen <math>u</math> mit <math>u(x)=x^2 + 5</math> und <math>v</math> mit <math>v(x)=3x -2</math> ist <br>
+* <math>u \circ v</math> durch <math>u(v(x))=(3x-2)^2 +5</math> gegeben. (In der Funktion u ersetzt man x durch den Term von v(x).)<br>
+* <math>v \circ u</math> durch <math>v(u(x))=3(x^2+5) -2</math>. (In der Funktion v ersetzt man x durch den Term von u(x).)<br>
+Natürlich vereinfacht man noch die Terme. Es ist dann <math>u(v(x))=(3x-2)^2 +5=9x^2-12x + 9</math> und <math>v(u(x))=3(x^2+5) -2=3x^2+13</math>.
+Insbesondere sieht man, dass die Verkettung '''<u>nicht</u>''' kommutativ ist. <math> u \circ v(x) \ne v \circ u(x)</math>.
+. Für die Funktionen <math>u</math> mit <math>u(x)=2 + 3x</math> und <math>v</math> mit <math>v(x)=\frac{1}{x^2+1}</math> ist <br>
+* <math>u \circ v</math> durch <math>u(v(x))=2 + \frac{3}{x^2+1}</math> gegeben. (In der Funktion u ersetzt man x durch den Term von v(x).)<br>
+* <math>v \circ u</math> durch <math>v(u(x))=\frac{1}{(2+3x)^2 +1}</math>. (In der Funktion v ersetzt man x durch den Term von u(x).)<br>
+. Für die Funktionen <math>u</math> mit <math>u(x)=\sqrt x</math> und <math>v</math> mit <math>v(x)=\frac{3}{x-2}</math> ist <br>
+* <math>u \circ v</math> durch <math>u(v(x))=\sqrt {\frac{3}{x-2}}</math> gegeben. <br>
+* <math>v \circ u</math> durch <math>v(u(x))=\frac{3}{\sqrt x -2}</math>.
+{{Aufgaben-blau|1|2=Buch S. 130 / 1 }}
+{{Lösung versteckt|1=a) <math>f(x) = u(v(x))=\frac{1}{2x+4}</math> und <math>g(x)=v(u(x))=\frac{2}{x} +4</math>
+b) <math>f(x) = u(v(x))=cos[(x+1)^2]</math> und <math>g(x)=v(u(x))=(cos x +1)^2</math>
+c) <math>f(x) = u(v(x))=sin(2x^2)</math> und <math>g(x)=v(u(x))=[sin(2x)]^2</math>
+d) <math>f(x) = u(v(x))=2^(x-1)</math> und <math>g(x)=v(u(x))=2^x -1</math>
+e) <math>f(x) = u(v(x))=\frac{1}{(\sqrt{2x^2})^2}=\frac{1}{2x^2}</math> und <math>g(x)=v(u(x))=\sqrt {2 \left ( \frac{1}{x^2} \right )^2}=\frac{\sqrt 2}{x^2}</math>
+f) <math>f(x) = u(v(x))=cos(\pi (x+2))</math> und <math>g(x)=v(u(x))=cos(\pi x) +2</math>
+g) <math>f(x) = u(v(x))=2(2x^2)^2 =8 x^4= v(u(x))=g(x)</math>
+h) <math>f(x) = u(v(x))=\sqrt {\sqrt{x^2+1}^2+1}= \sqrt{x^2+2}=g(x)</math>   }}
+Oftmals kann man auch eine Funktion <math>f</math> als Verkettung zweier Funktionen <math>u</math> und <math>v</math> schreiben.<br>
+. Die Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=\sqrt {x^2+1}</math> ist die Verkettung <math>u \circ v</math> mit den Funktionen
+<math>u</math> mit <math> u(x) = \sqrt x</math> und <math>v</math> mit <math>v(x) = x^2+1</math>.
+. <math>f(x)=(1+x)^4</math> ist <math>f(x)= u \circ v(x)</math> mit <math> u(x) = x^4</math> und <math> v(x) = 1+x</math>.
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+* <math> u(x) = \sqrt x</math> und <math> v(x) = 2(x^2+7)</math> oder<br>
+* <math> u(x) = \sqrt {2x}</math> und <math> v(x) = x^2+7</math>.
+<center>{{#ev:youtube |4pn02EvUZx0|350}}</center>
+{{Aufgaben-blau|2|2=Buch S. 130 / 2 }}
+{{Lösung versteckt|1=Es ist <math>f = u \circ v</math> mit <br>
+a) <math>u</math> mit <math> u(x) = x^4</math> und <math>v</math> mit <math>v(x) = 1-x</math><br>
+b) <math>u</math> mit <math> u(x) = log(x)</math> und <math>v</math> mit <math>v(x) = x^2+1</math><br>
+c) <math>u</math> mit <math> u(x) = x^2</math> und <math>v</math> mit <math>v(x) = \frac{x+1}{x-2}</math><br>
+d) <math>u</math> mit <math> u(x) = \sqrt x</math> und <math>v</math> mit <math>v(x) = x-1</math>   }}
+{{Aufgaben-blau|3|2=Man muss eventuell auf die Definitionsmenge der Verkettungsfunktion achten und diese neu bestimmen. <br>
+Buch S. 131 / 3 }}
+{{Lösung versteckt|1=Man hat die Funktionen <math>u</math> mit <math> u(x) = \sqrt{x+1}</math> und <math>v</math> mit <math>v(x) = x^2-4</math>. Die Definitionsmenge für <math>u</math> ist D<sub>u</sub> = [-1;<math>\infty</math>[, die Definitionsmenge für <math>v</math> ist D<sub>v</sub> = R.<br>
+Die Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=u(v(x))=\sqrt {x^2-4 +1}=\sqrt {x^2-3}</math> hat als Definitionsmenge D<sub>f</sub> = <math>]-\infty;.\sqrt 3]\cup [\sqrt 3;\infty[</math>.<br>
+Die Funktion <math>g</math> mit <math>g(x)=v(u(x)=(\sqrt {x+1})^2-4=x+1-4=x-3</math> hat als Definitionsmenge D<sub>g</sub>=[-1;<math>\infty</math>[. Hierzu muss man beachten, dass man ja x zuerst in u einsetzt. Da darf man nur Zahlen, die größer oder gleich -1 sind einsetzen. Man erhält für u(x) eine Zahl, die größer oder gleich 0 ist. Diese Zahl u(x) wird dann in v eingesetzt. <br>
+Von den Zahlen -2, <math>-\sqrt 3</math>, -1, 0, 1, 2, 3 gehören zur <br>
+* Definitionsmenge von f die Zahlen -2, <math>-\sqrt 3</math>, 2, 3.   <br>
+* Definitionsmenge von G die Zahlen -1, 0, 1, 2, 3.    }}

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Aktuelle Version vom 1. März 2021, 14:48 Uhr

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