M11 Verkettung von Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen
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g) <math>f(x) = u(v(x))=2(2x^2)^2 =8 x^4= v(u(x))=g(x)</math> | g) <math>f(x) = u(v(x))=2(2x^2)^2 =8 x^4= v(u(x))=g(x)</math> | ||
− | h) <math>f(x) = u(v(x))=\sqrt {\sqrt{x^2+1}^2+1}= \sqrt{x^2+2}=g(x)</math><br> | + | h) <math>f(x) = u(v(x))=\sqrt {\sqrt{x^2+1}^2+1}= \sqrt{x^2+2}=g(x)</math> }} |
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+ | Oftmals kann man auch eine Funktion <math>f</math> als Verkettung zweier Funktionen <math>u</math> und <math>v</math> schreiben.<br> | ||
+ | Die Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=\sqrt {x^2+1}</math> ist die Verkettung <math>u \circ v</math> mit den Funktionen | ||
+ | <math>u</math> mit <math> u(x) = \sqrt x</math> und <math>v</math> mit <math>v(x) = x^2+1</math>. |
Version vom 24. Februar 2021, 12:40 Uhr
Die Funktion ist eine in ganz R definierte Funktion.
Am Graph sieht man, dass im Punkt (0;1) eine waagrechte Tangente y = 1 vorhanden ist.
Doch wie soll man ableitgen?
Dazu müssen wir die Verknüpfung zweier Funktionen um die Verkettung erweitern. Bisher kennen wir als Verknüpfung zweier Funktiongen f und g
- die Summe f + g
- die Differenz f - g
- die Multiplikation f · g und
- die Division
Nun kommt noch die Verkettung dazu.
Merke:
Bei der Verkettung (Hintereinanderausführung) der Funktionen und wird zuerst die Funktion ausgeführt und danach die Funktion . |
Für unser Beispiel betrachten wir die Funktionen und . Es ist .
Setzt man nun an die Stelle von in der Funktion , dann hat man und ist die Verkettung der Funktionen und , also .
Merke:
Bei der Verkettung der Funktionen und , die durch gegeben ist, heißt die äußere Funktion und die innere Funktion. |
Beispiele: 1. Für die Funktionen mit und mit ist
- durch gegeben. (In der Funktion u ersetzt man x durch den Term von v(x).)
- durch . (In der Funktion v ersetzt man x durch den Term von u(x).)
Natürlich vereinfacht man noch die Terme. Es ist dann und .
Insbesondere sieht man, dass die Verkettung nicht kommutativ ist. .
2. Für die Funktionen mit und mit ist
- durch gegeben. (In der Funktion u ersetzt man x durch den Term von v(x).)
- durch . (In der Funktion v ersetzt man x durch den Term von u(x).)
3. Für die Funktionen mit und mit ist
- durch gegeben.
- durch .
a) und
b) und
c) und
d) und
e) und
f) und
g)
h)
Oftmals kann man auch eine Funktion als Verkettung zweier Funktionen und schreiben.
Die Funktion mit ist die Verkettung mit den Funktionen
mit und mit .