M11 Verkettung von Funktionen
Die Funktion ist eine in ganz R definierte Funktion.
Am Graph sieht man, dass im Punkt (0;1) eine waagrechte Tangente y = 1 vorhanden ist.
Doch wie soll man ableitgen?
Dazu müssen wir die Verknüpfung zweier Funktionen um die Verkettung erweitern. Bisher kennen wir als Verknüpfung zweier Funktiongen f und g
- die Summe f + g
- die Differenz f - g
- die Multiplikation f · g und
- die Division
Nun kommt noch die Verkettung dazu.
Merke:
Bei der Verkettung (Hintereinanderausführung) der Funktionen und wird zuerst die Funktion ausgeführt und danach die Funktion . |
Für unser Beispiel betrachten wir die Funktionen und . Es ist .
Setzt man nun an die Stelle von in der Funktion , dann hat man und ist die Verkettung der Funktionen und , also .
Merke:
Bei der Verkettung der Funktionen und , die durch gegeben ist, heißt die äußere Funktion und die innere Funktion. |
Beispiele: 1. Für die Funktionen mit und mit ist
- durch gegeben. (In der Funktion u ersetzt man x durch den Term von v(x).)
- durch . (In der Funktion v ersetzt man x durch den Term von u(x).)
Natürlich vereinfacht man noch die Terme. Es ist dann und .
Insbesondere sieht man, dass die Verkettung nicht kommutativ ist. .
2. Für die Funktionen mit und mit ist
- durch gegeben. (In der Funktion u ersetzt man x durch den Term von v(x).)
- durch . (In der Funktion v ersetzt man x durch den Term von u(x).)
3. Für die Funktionen mit und mit ist
- durch gegeben.
- durch .
{{Lösung versteckt|1=a) und
b) und
c) und
d) und
e) und
f) und
g)
h)