M11 Verkettung von Funktionen

Die Funktion $f:x \rightarrow \sqrt {x^2+1}$ ist eine in ganz R definierte Funktion.

Am Graph sieht man, dass im Punkt (0;1) eine waagrechte Tangente y = 1 vorhanden ist.

Doch wie soll man $\sqrt {x^2+1}$ ableitgen?

Dazu müssen wir die Verknüpfung zweier Funktionen um die Verkettung erweitern. Bisher kennen wir als Verknüpfung zweier Funktiongen f und g

• die Summe f + g
  
• die Differenz f - g
  
• die Multiplikation f · g und
  
• die Division $\frac{f}{g}$

Nun kommt noch die Verkettung $f \circ g$ dazu.

Merke: Bei der Verkettung (Hintereinanderausführung) $u \circ v$ der Funktionen $u$ und $v$ wird zuerst die Funktion $v$ ausgeführt und danach die Funktion $u$. Es ist $u \circ v: x \rightarrow u(v(x))$.

Für unser Beispiel $f:x \rightarrow \sqrt {x^2+1}$ betrachten wir die Funktionen $u:x\rightarrow \sqrt x$ und $v:x\rightarrow x^2+1$. Es ist $u(x) = \sqrt x, v(x) = x^2+1$.
Setzt man nun $v(x)$ an die Stelle von $x$ in der Funktion $u$, dann hat man $u \circ v (x) = u(v(x))=\sqrt {x^2+1}$ und $f$ ist die Verkettung $u \circ v$ der Funktionen $u$ und $v$, also $f = u\circ v$.

Merke: Bei der Verkettung $u \circ v$ der Funktionen $u$ und $v$, die durch $u \circ v(x) = u(v(x))$ gegeben ist, heißt $u$ die äußere Funktion und $v$ die innere Funktion.

Beispiele: 1. Für die Funktionen $u$ mit $u(x)=x^2 + 5$ und $v$ mit $v(x)=3x -2$ ist

• $u \circ v$ durch $u(v(x))=(3x-2)^2 +5$ gegeben. (In der Funktion u ersetzt man x durch den Term von v(x).)
  
• $v \circ u$ durch $v(u(x))=3(x^2+5) -2$. (In der Funktion v ersetzt man x durch den Term von u(x).)
  

Natürlich vereinfacht man noch die Terme. Es ist dann $u(v(x))=(3x-2)^2 +5=9x^2-12x + 9$ und $v(u(x))=3(x^2+5) -2=3x^2+13$.

Insbesondere sieht man, dass die Verkettung nicht kommutativ ist. $u \circ v(x) \ne v \circ u(x)$.

2. Für die Funktionen $u$ mit $u(x)=2 + 3x$ und $v$ mit $v(x)=\frac{1}{x^2+1}$ ist

• $u \circ v$ durch $u(v(x))=2 + \frac{3}{x^2+1}$ gegeben. (In der Funktion u ersetzt man x durch den Term von v(x).)
  
• $v \circ u$ durch $v(u(x))=\frac{1}{(2+3x)^2 +1}$. (In der Funktion v ersetzt man x durch den Term von u(x).)
  

3. Für die Funktionen $u$ mit $u(x)=\sqrt x$ und $v$ mit $v(x)=\frac{3}{x-2}$ ist

• $u \circ v$ durch $u(v(x))=\sqrt {\frac{3}{x-2}}$ gegeben.
  
• $v \circ u$ durch $v(u(x))=\frac{3}{\sqrt x -2}$.

  Aufgabe 1

Buch S. 130 / 1

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a) $f(x) = u(v(x))=\frac{1}{2x+4}$ und $g(x)=v(u(x))=\frac{2}{x} +4$

b) $f(x) = u(v(x))=cos[(x+1)^2]$ und $g(x)=v(u(x))=(cos x +1)^2$

c) $f(x) = u(v(x))=sin(2x^2)$ und $g(x)=v(u(x))=[sin(2x)]^2$

d) $f(x) = u(v(x))=2^(x-1)$ und $g(x)=v(u(x))=2^x -1$

e) $f(x) = u(v(x))=\frac{1}{(\sqrt{2x^2})^2}=\frac{1}{2x^2}$ und $g(x)=v(u(x))=\sqrt {2 \left ( \frac{1}{x^2} \right )^2}=\frac{\sqrt 2}{x^2}$

f) $f(x) = u(v(x))=cos(\pi (x+2))$ und $g(x)=v(u(x))=cos(\pi x) +2$

g) $f(x) = u(v(x))=2(2x^2)^2 =8 x^4= v(u(x))=g(x)$

h) $f(x) = u(v(x))=\sqrt {\sqrt{x^2+1}^2+1}= \sqrt{x^2+2}=g(x)$

Oftmals kann man auch eine Funktion $f$ als Verkettung zweier Funktionen $u$ und $v$ schreiben.
Die Funktion $f$ mit $f(x)=\sqrt {x^2+1}$ ist die Verkettung $u \circ v$ mit den Funktionen $u$ mit $u(x) = \sqrt x$ und $v$ mit $v(x) = x^2+1$.