M11 Verschieben und Spiegeln der Exponentialkurven: Unterschied zwischen den Versionen

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Ist 0 < b < 1, wird der Graph von <math>f</math> in y-Richtung gestaucht.<br>
 
Ist 0 < b < 1, wird der Graph von <math>f</math> in y-Richtung gestaucht.<br>
 
Ist b < 0, erfolgt noch eine Spiegelung an der x-Achse. }}
 
Ist b < 0, erfolgt noch eine Spiegelung an der x-Achse. }}
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Beispiel: Wie erhält man den Graphen der Funktion <math>g:x\to 1,5 - 2^{x+1}</math> aus dem Graphen der Funktion <math>f.x \to 2^x</math>?<br>
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1. Im Exponent steht x+1, also wird der Graph von f um -1 in x-Richtung (um 1 nach links) verschoben. Beachte, dass im Exponent x-c steht. Das bedeutet, dass x + 1 = x - (-1) zu betrachten ist und c = -1.<br>
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2. Vor der Potenz steht ein -, also wird der Graph von <math>2^{x+1}</math> an der x-Achse gespiegelt. <br>
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3. Nun wird der Graph noch um d = 1,5 in y-Richtung (um 1,5 nach oben) verschoben.
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{{Aufgaben-blau|2|2=1. Verifiziere die drei Schritte im Applet.
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<ggb_applet height="700" width="800" filename="Exponentialfunktion 9.ggb" />
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2. Mache ähnliche Schritte für den Graph den Funktion <math>g:x \to 3 - 4\cdot 2^x</math>.}}
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{{Lösung versteckt|1=Beachte <math>4\cdot 2^x =2^{x+2}</math> !  }}
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<ggb_applet height="600" width="800" filename="96-8.ggb" />
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{{Aufgaben-blau|4|2=Buch S. 96 / 9, 10, 11  }}
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{{Lösung versteckt|1=96/9 A)  3<sup>x</sup> hat den Schnittpunkt (0;1) mit der y-Achse und ist monoton steigend, also Graph f.<br>
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B) 3<sup>x-1</sup> hat den Schnittpunkt (0; 1/3) mit der y-Achse und ist monoton steigend, also Graph h.<br>
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C) -3<sup>x</sup> hat den Schnittpunkt (0;-1) mit der y-Achse, also Graph m<.<br>
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D) 3<sup>-x</sup> hat den Schnittpunkt (0;1) mit der y-Achse und ist monoton fallend, also Graph g.
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96/10 a) Verschiebung um -3 in y-Richtung (3 nach unten).<br>
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Waagrechte Asymptote ist die positive Gerade y = -3.<br>
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b) Verschiebung um 4 in y-Richtung (4 nach oben).<br>
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Waagrechte Asymptote ist die positive Gerade y = 4.<br>
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c) Streckung um den Faktor 3 in y-Richtung.<br>
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Waagrechte Asymptote ist die positive x-Achse.<br>
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d) Stauchung um 1/3 in y-Richtung.<br>
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Waagrechte Asymptote ist die positive x-Achse.<br>
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e) Spiegelung an der x-Achse.<br>
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Waagrechte Asymptote ist die positive x-Achse.<br>
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f) Spiegelung an der x-Achse und verschieben um -3 in y-Richtung (3 nach unten).<br>
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Waagrechte Asymptote ist die positive Gerade y = -3.<br>
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g) Spiegelung an der x-Achse und Verschiebung um 1 in y-Richtung (1 nach oben).<br>
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Waagrechte Asymptote ist die positive Gerade y = 1.
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h) Spiegelung an der x-Achse und Streckung in y-Richtung um den Faktor 3.
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96/11 a)<math>3^{x+1}=3\cdot 3^x</math><br>
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Version vom 26. Februar 2021, 13:46 Uhr

Im folgenden Applet kann man mit den Schiebereglern für a, b, c und d die Werte der Parameter der Exponentialfunktion g mit g(x) = b \cdot a^{x-c} +d ändern.

Zur Kontrolle ist der Graph der Funktion f mit f(x) = a^x eingezeichnet.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

1. Verändere mit dem Schieberegler für c den Wert von c. Lass die anderen Schieberegler in ihrer Einstellung.
Was beobachtest du, wenn sich der Wert von c ändert? Notiere deine Beobachtungen.

2. Stelle den Schieberegler von c wieder auf c = 0. Verändere mit dem Schieberegler für d den Wert von d. Lass die anderen Schieberegler in ihrer Einstellung.
Was beobachtest du, wenn sich der Wert von d ändert? Notiere deine Beobachtungen.

3. Stelle den Schieberegler von d wieder auf d = 0. Verändere mit dem Schieberegler für bden Wert von b. Lass die anderen Schieberegler in ihrer Einstellung.
Was beobachtest du, wenn sich der Wert von c ändert? Notiere deine Beobachtungen.

1. Der Graph der Funktion f(x) = a^x wird um c in Richtung der x-Achse verschoben.
Ist c > 0, dann erfolgt die Verschiebung nach rechts, ist c < 0, dann erfolgt die Verschiebung nach links in x-Richtung.

2. Der Graph der Funktion f(x) = a^x wird um d in Richtung der y-Achse verschoben.
Ist d > 0, dann erfolgt die Verschiebung nach oben, ist d < 0, dann erfolgt die Verschiebung nach unten in y-Richtung.

3. Ist b > 1, wird der Graph von f in y-Richtung gestreckt.
Ist 0 < b < 1, wird der Graph von f in y-Richtung gestaucht.

Ist b < 0, erfolgt noch eine Spiegelung an der x-Achse.


Beispiel: Wie erhält man den Graphen der Funktion g:x\to 1,5 - 2^{x+1} aus dem Graphen der Funktion f.x \to 2^x?
1. Im Exponent steht x+1, also wird der Graph von f um -1 in x-Richtung (um 1 nach links) verschoben. Beachte, dass im Exponent x-c steht. Das bedeutet, dass x + 1 = x - (-1) zu betrachten ist und c = -1.
2. Vor der Potenz steht ein -, also wird der Graph von 2^{x+1} an der x-Achse gespiegelt.
3. Nun wird der Graph noch um d = 1,5 in y-Richtung (um 1,5 nach oben) verschoben.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 2

1. Verifiziere die drei Schritte im Applet.

2. Mache ähnliche Schritte für den Graph den Funktion g:x \to 3 - 4\cdot 2^x.

Beachte 4\cdot 2^x =2^{x+2} !


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 3

Buch S. 96 / 8


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 4

Buch S. 96 / 9, 10, 11

96/9 A) 3x hat den Schnittpunkt (0;1) mit der y-Achse und ist monoton steigend, also Graph f.
B) 3x-1 hat den Schnittpunkt (0; 1/3) mit der y-Achse und ist monoton steigend, also Graph h.
C) -3x hat den Schnittpunkt (0;-1) mit der y-Achse, also Graph m<.
D) 3-x hat den Schnittpunkt (0;1) mit der y-Achse und ist monoton fallend, also Graph g.

96/10 a) Verschiebung um -3 in y-Richtung (3 nach unten).
Waagrechte Asymptote ist die positive Gerade y = -3.
b) Verschiebung um 4 in y-Richtung (4 nach oben).
Waagrechte Asymptote ist die positive Gerade y = 4.
c) Streckung um den Faktor 3 in y-Richtung.
Waagrechte Asymptote ist die positive x-Achse.
d) Stauchung um 1/3 in y-Richtung.
Waagrechte Asymptote ist die positive x-Achse.
e) Spiegelung an der x-Achse.
Waagrechte Asymptote ist die positive x-Achse.
f) Spiegelung an der x-Achse und verschieben um -3 in y-Richtung (3 nach unten).
Waagrechte Asymptote ist die positive Gerade y = -3.
g) Spiegelung an der x-Achse und Verschiebung um 1 in y-Richtung (1 nach oben).
Waagrechte Asymptote ist die positive Gerade y = 1. h) Spiegelung an der x-Achse und Streckung in y-Richtung um den Faktor 3.

96/11 a)3^{x+1}=3\cdot 3^x

b)
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