M11 dreidimensionales Koordinatensystem

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Wir erweitern unser zweidimensionales xy-Koordinatensystem durch eine dritte z-Koordinate.

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In Geogebra klicken Sie das Fenster "Grafik" weg und wählen im Menü "Ansicht" die Auswahl "3D Grafik" aus. Geben Sie unten in der Eingabezeile A=(1,2,3) ein. Nun wird der Punkt A eingezeichnet. Sie können nun durch Drehen die Lage des Koordinatensystems ändern und erkennen, dass die rote Achse die x-Achse, die grüne Achse die y-Achse und die blaue Achse die z-Achse ist. Es wird nun ein räumliches Koordinatensystem angezeigt.

Um mit unserem Buch konform zu sein, nennen wir die x-Koordinate nun x1-Koordinate, die y-Koordinate nun x2-Koordinate und die z-Koordinate nun x3-Koordinate.
Für unseren Punkt A(1;2;3) bedeutet dies, dass x1=1, x2=2 und x3=3 ist.
In GeoGebra ist die x1-Achse rot, die x2-Achse grün und die x3-Achse blau.

Die x1-Koordinate des Punktes P(2;4;5) ist (!4) (2) (!5)

Die x3-Koordinate des Punktes P(-1;24;5) ist (!-1) (5) (!24)

Die x2-Koordinate des Punktes P(2;-4;-5) ist (!2) (-4) (!-5)

Beim Punkt P(-3;4;12) ist 12 welche Koordinate? (!x1) (!x2) (x3)

Bei P(-1;24;5) ist 24 welche Koordinate? (!x1) (x2) (!x3)

Bei P(-3;21;2) ist -3 welche Koordinate? (x1) (!x2) (!x3)

Nuvola apps kig.png   Merke

Wir vereinbaren zum Zeichnen eines dreidimensionalen Koordinatensystems die x2x3-Ebene als Zeichenebene (Heftebene). Die x1- und x2-Achse werden normalerweise jeweils nach 2 Kästchen vom Ursprung mit 1 bezeichnet.
Die x1-Achse geht unter einem 45°-Winkel schräg nach vorne links. Eine Kästchendiagonale hat die Längeneinheit 1.

KS 3D 2.jpg


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

Bearbeiten Sie im Buch S. 89/5.

a) R(2;-2;0), H(2;2;0), A(-2;2;0), E(-2;-2;0), T(2;-2;4), I(2;2;4), C(-2;2;4), U(-2;-2;4), S(0;0;7)
Das Turmvolumen ist V=4\cdot 4 \cdot 4+\frac{1}{3}\cdot 4\cdot4 \cdot 3=80 (VE)
b) S(4;-4;0), T(4;4;0), E(0;4;0), V(0;-4;0), I(0;-4;3), N(0;4;3)

Der Oberflächeninhalt des Prismas ist O=8\cdot 4 +8\cdot 5 + 8 \cdot 3 + 2\cdot \frac{1}{2}\cdot 4\cot 3=108 (FE)


Nuvola apps kig.png   Merke

Der Abstand zweier Punkte P(p1;p2;p3) und Q(q1;q2;q3) ist nach dem Satz von Pythagoras

\overline {PQ}=\sqrt{(q_1 - p_1)^2+(q_2 - p_2)^2+(q_3 - p_3)^2}


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 2

1. Berechne die Länge der Strecke [OA], wobei O(0;0;0) der Ursprung ist. 2. Berechne die Länge der Strecke [AB] mit A(1;2,3) und B(4;5;6)
3. Berechne die Länge der Strecke [AC] mit A(1;2;3) und C(-1;2;-3).
4. Berechne die Länge der Strecke [AD] mit A(1;2;3) und D(-1,5;-3).

1. Die Strecke [OA] ist die Diagonale in einem Quader mit den Seitenlängen 1, 2 und 3.
Es ist \overline {OA}=\sqrt {1^2+2^2+3^2} = \sqrt{14}

2. Die Strecke [AB] ist die Diagonale in einem Quader mit den Seitenlängen, 3, 3 und 3
Diagonale ks 2.jpg

Es ist \overline {AB}=\sqrt {3^2+3^2+3^2} = 3\sqrt{3}

3. Die Strecke [AC] ist die Diagonale in einem Quader mit den Seitenlängen 2, 0 und 6, also einem Rechteck.
Diagonale ks 3.jpg

\overline {AC}=\sqrt {2^2+6^2} = 2\sqrt{10}

4. Die Strecke [AD] ist die Diagonale in einem Quader mit den Seitenlängen 2, 3 und 6, also einem Rechteck.
Diagonale ks 4.jpg

\overline {AD}=\sqrt {2^2+3^2+6^2} = \sqrt{49}=7


Um weiter mit unserem Buch konform zu sein, vereinbaren wir, dass wir ein dreidimensionales Koordinagensystem so zeichnen, dass die x1-Achse schräg nach vorne zeigt, die x2-Achse nach rechts und die x3-Achse nach oben.
KS 3D.jpg


Die Koordinatenebenen zerlegen den Raum in acht Teile, sogenannte Oktanten.

Oktanten.jpg


Bei den Oktanten I bis IV ist x3 stets positiv, bei den Oktanten V bis VIII ist 3 negativ.

I. Oktant: x1 > 0, x2 > 0, x3 > > 0
II. Oktant: x1 < 0, x2 > 0, x3 > > 0
III. Oktant: x1 < 0, x2 < 0, x3 > > 0
IV. Oktant: x1 > 0, x2 < 0, x3 > > 0

V. Oktant: x1 > 0, x2 > 0, x3 > < 0
VI. Oktant: x1 < 0, x2 > 0, x3 > < 0
VII. Oktant: x1 < 0, x2 < 0, x3 > < 0
VIII. Oktant: x1 > 0, x2 < 0, x3 > < 0

Durch die Achsen werden drei Ebenen festgelegt:

  • x1x2-Ebene (rot),
  • x1x3-Ebene (blau),
  • x2x3-Ebene (gelb).


In der Zeichenebene werden durch das xy-Diagramm die Koordinaten von Punkten festgelegt. Die Zeichenebene ist eine Punktmenge von Punkten P(x;y), wobei die Ebeme durch R2={(x;y)|x, y sind reelle Zahlen} beschrieben wird.
Dies übertragen wir auf unseren neuen Raum, den Anschauungsraum. Jeder Punkt P(x1;x2;x3) ist durch seine drei Koordinaten x1, x2 und x3 festgelegt. Die Punktmenge aller Punkte des Raumes ist dann R3={(x1;x2;x3)|x1, x2, x3 sind reelle Zahlen}.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 3

Buch S. 88 / 1

F liegt in der x1x2-Ebene (x3-Koordinate ist 0) und hat die Entfernung 5 zum Ursprung.
E liegt auf der xx-Achse und hat die Entfernung 4 zum Ursprung.
R liegt auf der x3-Achse und hat die Entfernung 8 zum Ursprung.
M liegt in der x2x3-Ebene und hat die Entfernung \sqrt {13} zum Ursprung.
A liegt in der x1x3-Ebene und hat die Entfernung \sqrt {10} zum Ursprung.
T liegt auf der x1-Achse und hat die Entfernung 5 zum Ursprung.

A ist dem Ursprung am nächsten und R am weitesten entfernt.

Buch S. 88 / 4

a) Die Punkte P liegen wegen x3=0 in der x1x2-Ebene. Die x1-Koordinate ist a, die x2Koordinate ist 2a. Eretzt man nun in der x2-Koordinate a durch x1, so ist x2 = 2x1. Mit den Bezeichnungen der Mittelstufe ist dies y = 2x, also in der x1x2-Ebene die Gerade mit der Gleichung x2 = 2x1.

b) Die Punkte P liegen, da x1=0 ist, in der x2x3-Ebene. Ersetzt man hier bei x3=x2 a durch x2, so ist x3=x22. Dies ist in der x2x3-Ebene eine Normalparabel.

c) Die Punkte P liegen wegen x1=0 in der x2x3-Ebene. Ersetzt man in x3= 1/a a durch x2 so erhält man x_3=\frac{1}{x_2}. Dies ist in der x2x3-Ebene eine Hyperbel.

d) Die Punkte P liegen wegen x2=0 in der x1x3-Ebene. Ersetzt man in x3=2a-1 a durch x1 so erhält man x3=21-1. Dies ist in der x1x3-Ebene eine Gerade.

Buch S.89 / 5

R(2;-2;0), H(2;2;0), A(-2;2;0), E(-2;-2;0) T((2;-2;4), H(2;2;4), A(-2;2;4), E(-2;-2;4), S(0;0;7)
V = VWürfel + VPyramide = 43 + 1/2· 42 ·3=80 (VE)

b) S(4;-4;0), T(4;4,0), E(0;4;0), V(0;-4;0), I(0;-4,3), N(0;4;3)
S*(-4;4;0), T*(-4;4;0)
O = 8·8 + 2·(8·5) + 2·(0,5·(8·3))=168 (FE)

V = 0,5·8·3·8 96

Buch S. 89 / 7

Jede Kante hat die Länge 6.
89-7.jpg
V=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}\cdot 6 \cdot 3 \sqrt 3 \cdot 2 \sqrt 6 = 18 \sqrt 2 \approx 25,46
Die Höhe des Tetraeder hat die Länge 2 \sqrt 6, da die Punkte R I und S in der x1x2-Ebene liegen und der Abstand von S von der x1x2-Ebene ist seine x3-Koordinate.

O \approx 62,85

Buch S. 89 / 9

a) A(0;-4;0), R(-4;0,0), L(0;24;0), T(-4;20;0), I(0;20;10)

b) \alpha = 68^o, V = ( \frac{160\pi}{3}+800) \cdot (5m)^3 \approx (167,6 +800) \cdot (5m)^3 = 120944 m^3