M8 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten: Unterschied zwischen den Versionen

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Für unseren Atomdurchmesser 0,0000000001m bedeutet dies, dass die Zahl 10 Nachkommastellen hat und die letze Ziffer ist 1, also ist 0,0000000001m = 10<sup>-10</sup>m.
 
Für unseren Atomdurchmesser 0,0000000001m bedeutet dies, dass die Zahl 10 Nachkommastellen hat und die letze Ziffer ist 1, also ist 0,0000000001m = 10<sup>-10</sup>m.
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{{Merksatz|MERK=Man definiert Potenzen a<sup>n</sup> mit ganzzahligen Exponenten:<br>
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Ist n eine natürliche Zahl, dann ist <math>a^n = a\cdot a\cdot a \cdot ... \cdot a</math> (mit n gleichen Faktoren a),
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<math>a^0 = 1</math> und <math>a^{-n}= \frac{1}{a^n}</math> }}
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'''Beispiele'''<br>
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<math>4^{-1}=\frac{1}{4}=0,25</math><br>
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<math>5^{-2}=\frac{1}{5^2}=\frac{1}{25}=0,04</math><br>
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<math>(-\frac{1}{2})^{-4}=\frac{1}{(-\frac{1}{2})^4}=\frac{1}{\frac{1}{16}}=16</math><br>

Version vom 14. Mai 2020, 15:27 Uhr

In Physik oder Chemie gibt es eine wissenschaftliche Schreibweise für Größen. Man gibt die Größe als Zahl mit Einheit und oftmals ist die Zahl mit Zehnerpotenzen geschrieben. Dies macht man gerne, da man sonst den Zahlenwert nur sehr schwer lesen kann. Zum Beispiel ist die Masse der Erde m = 6000000000000000000000000 kg. Man kann die Zahl durch Dreierbündel der Nullen etwas übersichtlicher gestalten m = 6 000 000 000 000 000 000 000 000 kg. Aber sehr viel einfacher wird es dadurch auch nicht. Daher schreibt man gerne m = 6·1024 kg. Diese Schreibweise schaut doch wenn man ihre Bedeutung kennt sehr viel einfacher aus.
Was heißt 1024?
1024 ist eine Potenz 10 ist die Basis 24 der Exponent. Eine Potenz ist eine Abkürzung für ein Produkt mit lauter gleichen Faktoren.
Hier ist 1024=10·10·10·10·10·10·10·10·10·10·10·10·10·10·10·10·10·10·10·10·10·10·10·10. Der Faktor 10 kommt 24 mal vor.

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an ist eine Potenz, a ist die Basis, n der Exponent.

Potenzen kennst du schon. Meist ist die Basis eine natürliche Zahl, ebenso der Exponent.

Was macht man aber, wenn man eine sehr kleine Zahl hat? Der Atomdurchmesser ist circa 0,0000000001m. Dies ist auch sehr unübersichtlich zu lesen. Kann man diese Zahl auch mit einer Zehnerpotenz schreiben?

105  :10
104  :10
103  :10
102  :10
101  :10
 ???  :10
 ???  :10

In dieser Tabelle hat man mit der Zehnerpotenz 105 angefangen. 105 wird durch 10 dividiert und man erhält in der nächsten Zeile 104. 104 wird durch 10 dividiert und man erhält in der nächsten Zeile 103. 103 wird durch 10 dividiert und man erhält in der nächsten Zeile 102. 102 wird durch 10 dividiert und man erhält 101. Wie geht es nun weiter?

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Bei diesem Vorgehen dividiert man eine Zehnerpotenz durch 10 und der Exponent verringert sich dabei um 1, also 10n : 10 = 10n-1.

Macht man dieses Verfahren nun weiter, so erhält man:

102  :10
101  :10
100  :10
10-1  :10
10-2  :10
10-3  :10
10-4  :10
usw.

Nun hat man plötzlich Potenzen mit negativen Exponenten. In unserem Fall 10-n. Aber die Werte dieser Potenzen kennt man schon. Es ist:

102 =100  :10
101=10=:10=10  :10
100=10:10=1  :10
10-1=1:10=0,1  :10
10-2=0,1:10=0,01  :10
10-3=0,01:10=0,001  :10
10-4=0,001:10=0,0001  :10
usw.
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Also kann man sagen, 10-n ist eine Dezimalzahl mit n Nachkommastellen. Die letzte Nachkommastelle ist 1, alle anderen sind 0.
Zahlen wie 10-4=0,001:10=0,0001 kennst du bereits. Es ist 10^{-4}=0,0001 = \frac{1}{10000}=\frac{1}{10^4}
Also ist 10^{-4}=\frac{1}{10^4} oder allgemein 10^{-n}=\frac{1}{10^n}

Für unseren Atomdurchmesser 0,0000000001m bedeutet dies, dass die Zahl 10 Nachkommastellen hat und die letze Ziffer ist 1, also ist 0,0000000001m = 10-10m.

Maehnrot.jpg
Merke:

Man definiert Potenzen an mit ganzzahligen Exponenten:
Ist n eine natürliche Zahl, dann ist a^n = a\cdot a\cdot a \cdot ... \cdot a (mit n gleichen Faktoren a), a^0 = 1 und a^{-n}= \frac{1}{a^n}

Beispiele
4^{-1}=\frac{1}{4}=0,25
5^{-2}=\frac{1}{5^2}=\frac{1}{25}=0,04
\frac{1}{2}^{-3}=\frac{1}{\frac{1}{2}^3}=\frac{1}{\frac{1}{8}}=8
(-\frac{1}{2})^{-4}=\frac{1}{(-\frac{1}{2})^4}=\frac{1}{\frac{1}{16}}=16