M8 Rechnen mit Doppelbrüchen

Doppelbrüche hast du in der 6. Klasse kennengelernt. In diesen Videos

und

kannst du es nochmals wiederholen.
Bearbeite die Aufgaben auf dieser Seite

In diesem Video

wird erkärt, wie man Doppelbrüchen aus Buchstaben auflöst.
Auf dieser Seite ist auch nochmals schriftlich erklärt wie man Doppelbrüche auflöst.

Merke Ein Doppelbruch ist einfach aufzulösen, wenn man berücksichtigt, dass ein Bruch nur eine andere Schreibweise einer Division ist. Und man dividiert durch einen Bruch, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert. $\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}$ Beachte: Kürzen geht nur, wenn in Zähler und Nenner Produkte stehen! Kürzen aus Differenzen und Summen machen wir nicht!

Das geht mit allen Brüchen! Auch wenn sie "wild" aussehen.
1. Beispiel: Der Doppelbruch $\frac{1 + \frac{1}{a}}{a+ \frac{1}{a}}$ wird zuerst in einen "echten Doppelbruch" verwandelt, d.h. Zähler und Nenner als Bruch schreiben. $\frac{1 + \frac{1}{a}}{a+ \frac{1}{a}} = \frac{\frac{a+1}{a}}{\frac{a^2+1}{a}}$ Diesen Doppelbruch löst man nun auf: $\frac{1 + \frac{1}{a}}{a+ \frac{1}{a}} = \frac{\frac{a+1}{a}}{\frac{a^2+1}{a}}=\frac{(a+1)\cdot a}{a \cdot (a^2+1)}$ . Nun kann man a kürzen. $\frac{1 + \frac{1}{a}}{a+ \frac{1}{a}} = \frac{\frac{a+1}{a}}{\frac{a^2+1}{a}}=\frac{(a+1)\cdot a}{a \cdot (a^2+1)}=\frac{a+1}{a^2 +1}$ - Hier geht nichts mehr zu kürzen, also ist man fertig!

2. Beispiel:
Auch diesen Doppelbruch $\frac{\frac{u-v}{u+v}-\frac{u}{u-v}}{\frac{u+v}{u-v}-\frac{v}{u+v}}$ schreibt man zuerst als "echten Doppelbruch": $\frac{\frac{u-v}{u+v}-\frac{u}{u-v}}{\frac{u+v}{u-v}-\frac{v}{u+v}}=\frac{\frac{(u-v)^2-u \cdot (u+v)}{(u+v)(u-v)}}{\frac{(u+v)^2-v(u-v)}{(u-v)(u+v)}}$
Die beiden Nenner lässt man als Produkte stehen!
Nun löst man den Doppelbruch auf: $\frac{\frac{u-v}{u+v}-\frac{u}{u-v}}{\frac{u+v}{u-v}-\frac{v}{u+v}}=\frac{\frac{(u-v)^2-u \cdot (u+v)}{(u+v)(u-v)}}{\frac{(u+v)^2-v(u-v)}{(u-v)(u+v)}}=\frac{[(u-v)^2-u \cdot (u+v)](u-v)(u+v)}{[(u+v)^2-v(u-v)](u+v)(u-v)}$
Nun kann man in Zähler und Nenner $(u-v)(u+v)$ kürzen. $\frac{[(u-v)^2-u \cdot (u+v)](u-v)(u+v)}{[(u+v)^2-v(u-v)](u+v)(u-v)}=\frac{(u-v)^2-u \cdot (u+v)}{(u+v)^2-v(u-v)}$
In Zähler und Nenner stehen Summen bzw. Differenzen. Man kann auch nichts mehr ausklammern. Dann löst man in Zähler und Nenner noch die Klammern auf und fasst zusammen. $\frac{u^2-2uv + v^2-u^2 - uv}{u^2+2uv+v^2-vu+v^2}=\frac{-3uv+v^2}{u^2+uv+2v^2}$

  Aufgabe 1

Bearbeite nun bei Mathegym den Arbeitsauftrag "Bruchterme - Doppelbrüche" .
Die zwei Beispiele sind aus Level 5 und 6 dieses Arbeitsauftrags. Auch wenn sie abschreckend wirken, probiert bitte auch die Aufgaben dieser Level. Ihr könnt euch auch die Zwischenschritte bzw. die Musterlösung ansehen und dabei die Aufgabe lösen.