M9 Anwendungen und Aufgaben zu quadratischen Gleichungen

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Bruchgleichungen

Bei den Bruchgleichungen der 8. Klasse hast du schon Gleichungen wie \frac{x}{x+1}=x gelöst. Als Lösung hast du x=0 erhalten. Das konntest du lösen. Aber bei einer Gleichung wie \frac{6}{x^2-x}=\frac{5}{x^2-1} mit der Definitionsmenge D = R\{-1;0;1} gab es schon Probleme. Wie löse ich dies?
Wenn du die Bruchgleilchung \frac{6}{x^2-x}=\frac{5}{x^2-1} mit dem Produkt der Nenner (x2-x)(x2-1) multiplizierst, dann erhältst du:
\frac{6(x^2-x)(x^2-1)}{x^2-x}=\frac{5(x^2-x)(x^2-1)}{x^2-1} und gekürzt ("über Kreuz multiplizieren"):
6(x^2-1)=5(x^2-x)
Man kann nun zusammenfassen und vereinfachen:  6x^2-6 = 5x^2 -5x --> x^2 - 6 = -5x --> x^2+5x-6=0 das ist eine quadratische Gleichung, die du lösen kannst.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 1

Bestimme für die Bruchgleichung \frac{6}{x^2-x}=\frac{5}{x^2-1} die Definitionsmenge und ermittle dann die Lösungsmenge L.

Da unsere Grundmenge R ist, ist D=R\{-1,0,1}; die quadratische Gleichung x^2+5x-6=0 hat die Lösungen x_1=-6, x_2=1. Allerdings ist x_2=1 nicht in der Definitionsmenge, also ist L={-6}.


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 2

Buch S. 76 / 6

Man verwendet den neben der Aufgabe stehende Tipp. Man multipliziert die Gleichung zuerst mit dem Hauptnenner.
a) D=R\{-1;1}, HN=(n-1)(n+1)
n+1 + n-1 = n², also n²-2n=0, n1=0, n2=2
b) D=R\{.\sqrt 2 , \sqrt 2}, HN = (x+\sqrt 2)(x-\sqrt 2)
(x-\sqrt 2)^2 + (x+\sqrt 2)^2 =3(s-\sqrt 2)(x+\sqrt 2)
x^2-2\sqrt 2 x+2+x^2+2\sqrt 2 x +2 =3(x^2-2)
 2x^2 + 4 = 3x^2 -6
10=x^2, also L={-\sqrt {10}, \sqrt {10} }
c) D=R\{-1;1} (3. binomische Formel x²-1=(x-1)(x+1)!) HN = x^2-1

x(x+1)-(15-x)=0 --> x² +2x -15 = 0 --> x1=-5; x2=3

Anwendungsaufgaben

Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 3

Knobelaufgabe S. 76 / 9
Dreiecksaufgabe S. 76 / 11
Busfahrt S. 77 / 14

76/9a) Die zugehörige Gleichung ist x = x^2-1 mit der positven Lösung x_1=\frac{1+\sqrt 5}{2}.
b) Die zugehörige Gleichung ist x = \frac {1}{x} +1 mit den Lösungen x_1=\frac{1-\sqrt 5}{2},  x_2=\frac{1+\sqrt 5}{2}

76/11 Mache dir zuerst eine Skizze eines rechtwinkligen Dreiecks (Hypotenuse c unten, Katheten rechts und links, z.b. die rechte Kathete länger, dann ist die längere Kathete b, die kürzere a) Es ist dann a = b-7, c = b+1 und mit dem Satz von Pythagoras erhält man (c+1)^2=b^2+(b-7)^2. Nun löst man die Klammern auf und fasst zusammen. Es ergibt sich die quadratische Gleichung b^2-16b+48=0, welche die Lösungen b_1=4, b_2=12. Wegen a = b-7 ist b1=4 keine Lösung, also hat das Dreieck die Seitenlängen a = 5, b = 12, c = 13.
(Übrigens ist (5;12;13) ein pythagroräisches Zahlentripfel!)
u_{Dreieck}=5+12+13=30, A_{Dreieck}=\frac{1}{2}4\cdot 12=30
Der Umkreis hat den Radius r=\frac {c}{2}=6,5 (Thaleskreis!), also ist A_{Kreis}=6,5^2 \pi\approx 132,73
Es ist \frac{A_{Dreieck}}{A_{Kreis}}=\frac{30}{132,73}=0,226=22,6%

77/14 Für den vollen Bus sind n Mitfahrer eingeplant. Jeder Mitfahrer zahlt dann für die Busfahrt x=\frac{450}{n}.
Da nun 5 Personen weniger mitfahren, es ist also die Anzahl der Mitfahrer n - 5. Und jeder Mitfahrer zahlt nun x + 1.
Man hat nun die Gleichung 450 = (n-5)(x+1). Diese Gleichung hat nun zwei Unbekannte n und x. Wir kennen aber einen Zusammenhang zwischen n und x, nämlich x=\frac{450}{n} oder n=\frac{450}{x}. Setzt man die letzte Gleichung für n in die Gleichung 450 = (n-5)(x+1) ein, so erhält man 450 = (\frac{450}{x}-5)(x+1). Die Gleichung 450 = (\frac{450}{x}-5)(x+1) kann man in eine quadratische Gleichung umwandeln, indem man sie mit x multipliziert (und dabei auf der rechten Seite die erste Klammer als \frac{450-5x}{x} schreibt, dann fällt nämlich beim Multiplizieren mit x der Nenner weg.)
450x=(450-5x)(x+1)
450x=450x+450-5x^2-5x
0=450-5x^2-5x |\cdot -\frac{1}{5}
x^2+x-90=0 mit den zwei Lösungen x_1=-10, x_2=9.

Also war ursprünglich geplant, dass 50 Mitfahrer jeweils 9€ zahlen. Nun sind es 45 Mitfahrer und jeder zahlt 10€.

Und zum Anschauen (du kannst natürlich auch immer anhalten und selbst mitrechnen und lösen!):


Bleistift 35fach.jpg   Aufgabe 4

Schwimmbadaufgabe S. 77 / 18

77/18

a) Koordinatensystem mit Ursprung im Fußpunkt des Sprungturms, Scheitel bei (0;10), weiterer Parabelpunkt (5;5)
Mit der Scheitelform y = ax^2 +10 und 5=25a+10 ergibt sich a=-\frac{1}{5}, also f(x) = -\frac{1}{5}x^2+10

b) Sie kommt bei x unten auf und x erhält man aus -\frac{1}{5}x^2+10=0, also x=5\sqrt 2.

Schnittprobleme